Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
переменным.
В главе 7 при всестороннем обсуждении решений волнового уравнения (1.1)
мы обращаемся к двух- и трехмерным задачам. Пожалуй, в книге, посвященной
распространению волы, необычно так долго откладывать этот вопрос и
начинать со столь тщательного обсуждения нелинейных эффектов. Это
следствие упорядочения, произведенного по числу измерений, а не по
сложности понятий или доступности математического аппарата. В главе 7
освещаются свойства решений уравнения (1.1), позволяющие судить о природе
рассматриваемого волнового движения и дающие возможность обобщения на
другие волновые системы. Главным примером служит геометрическая оптика,
которая обобщается на линейные волны в неоднородной среде и является
основой для аналогичных построений, связанных с распространением разрывов
в нелинейных задачах. Мы даже не пытаемся дать хотя бы
1.3. Диспергирующие волны
15
сравнительно краткий обзор огромной области дифракции и теории рассеяния,
а также специальных свойств упругих и электромагнитных волн. Все они
слишком обширны для того, чтобы их можно было подобающим образом изложить
в книге, уже охватывающей столь широкий круг тем.
Главы 8 и 9 посвящены динамике ударных волн и задачам, связанным с
явлением звукового удара. Здесь демонстрируется, как можно обойти
трудности, обусловленные нелинейным характером задачи.
В этих двух главах для преодоления математических трудностей используются
интуитивные идеи и приближения, основанные на физических соображениях.
Хотя рассматриваемые задачи взяты из механики жидкости, мы надеемся, что
результаты и стиль рассуждений окажутся полезными и в других областях.
Последняя глава по гиперболическим волнам касается случаев,, когда
одновременно существуют волны различных порядков. Типичным примером
служит уравнение
Это гиперболическое уравнение с характеристическими скоростями ±с0,
определяемыми волновым оператором второго порядка. Однако если т] мало,
то в известном смысле хорошее приближение должно обеспечивать волновое
уравнение низшего порядка ф( + + а0ц>х - 0, а оно предсказывает волны со
скоростью я0. Оказывается, что волны обоих типов играют важную роль и
существуют важные эффекты взаимодействия между ними. Волны высшего
порядка несут "первый сигнал" со скоростью с0, а "основное возмущение"
передается волнами низшего порядка со скоростью а0. В нелинейных аналогах
уравнения (1.16) это существенно отражается на свойствах ударных волн и
их структуре. Все эти вопросы разбираются в гл. 10.
1.3. Диспергирующие волны
Диспергирующие волны не поддаются классификации так легко, как
гиперболические волны. Как уже объяснялось в связи с решением (1.3), о
них идет речь при рассмотрении определенных типов осциллирующих решений,
описывающих волновые пакеты. Такие решения получаются при интегрировании
различных уравнений в частных производных и даже некоторых интегральных
уравнений. Сразу ясно, что задача характеризуется дисперсионным
соотношением
Ч (ф" - соФ.тж) + ф4 + аофж - 0-
(1.16)
ay-W (и),
(1.17)
Гл. 1. Введение и общий обзор
16
связывающим частоту to и волновое число х. Источник этого соотношения для
конкретной системы уравнений, описывающей данный процесс, имеет
второстепенное значение. Типичными примерами служат уравнение колебаний
балки
ф tt + У2<Рхххх = 0, со = ±ух2, (1.18)
линейное уравнение Кортевега - де Фриза
ф* + СофЖ + V<Pxxx = 0, со = с0и - мх3 (1.19)
и линейное уравнение Буссинеска
фи - а2ф.-сЖ = Р2Фxxtu со = ±ах (1 + р2*2)-1'2. (1.20)
Уравнения (1.19) и (1.20) появляются в приближенных теориях длинных волн
на воде. Не приводя здесь общих уравнений для линейных волн на воде,
отметим, что они имеют решение вида (1.3), описывающее возмущения
свободной поверхности, с
со = + (gx th xh)1^, (1.21)
где h - невозмущенная глубина, a g - ускорение свободного падения. Другим
примером служит классическая теория дисперсии электромагнитных волн в
диэлектриках, дающая соотношение
(со2 - V2) (со2 - c0V) = co2v|, (1.22)
где с0 - скорость света, v0 - собственная частота осциллятора и vp -
плазменная частота.
Решения линейных задач более общие, чем решение (1.3), получаются
суперпозицией таких решений и имеют вид интегралов Фурье
Ф = j F (к) cos (хх-Wt)dx, (1.23)
о
где W (х) - дисперсионная функция (1.17), зависящая от рассматриваемой
системы. Функция (1.23) является - по крайней мере формально - решением
для произвольной функции F (х), которая с помощью обратного
преобразования Фурье выбирается так, чтобы выполнялись граничные или
начальные условия.
Решение вида (1.23) является суперпозицией отдельных волн с различными
волновыми числами, каждая из которых распространяется со своей фазовой
скоростью
= (1.24)
С ростом времени эти различные составляющие моды "диспергируют"
(расползаются), в результате чего, например, одиночный горб превращается
в длинный осциллирующий волновой пакет -
1.3. Диспергирующие волны
17
цуг волн. Этот процесс изучается с помощью различных асимптотических
