Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
его можно переписать так:
фар = 0- (1.7)
Последнее уравнение элементарно интегрируется и имеет общее
решение
Ф ==/(") + g (Р) = / (^ - c0t) + g (х + c0t), (1.8)
где / и g - произвольные функции.
Это решение является комбинацией двух волн: одна с формой, описываемой
функцией /, движется вправо со скоростью с0, а другая с формой,
описываемой функцией g, движется влево с такой же скоростью с". Еще проще
было бы в случае только одной волны. Нужное для этого уравнение
получается факторизацией уравнения (1.5)
( д п 5 \ ( д д \
\ dt ~ ~с°рТ) V dt + С°-&)
Ф - 0 (1.9)
и оставлением только одного из сомножителей. Оставив
Ф< + с0фж = 0, (1.10)
получим общее решение
ф = / (х - c0t). (1.11)
Это простейшая задача гиперболических волн. Хотя классические задачи
приводят к уравнению (1.5), для многих волновых
1.2. Гиперболические волны
13
движений, изученных к настоящему времени, в действительности получается
уравнение (1.10). В качестве примеров можно указать паводковые волны,
волны в ледниках и волны в потоках транспорта, а также некоторые волновые
явления в химических реакциях. Изложение теории этих процессов начинается
в главах 2 и 3. Точно так же как в классических задачах, исходные
формулировки приводят к нелинейным уравнениям, простейшее из которых
имеет вид
4>t + с (ф) фх = 0, (1.12)
где скорость распространения с (ф) является функцией локального
возмущения ф. Исследование этого обманчиво простого на вид уравнения дает
все основные понятия нелинейных гиперболических волн. Мы будем следовать
идеям, впервые развитым в газовой динамике, но придем к ним в более
простой математической форме. Основное следствие нелинейности заключается
в опрокидывании волн и возникновении ударных волн. Математическим
отражением этого явления служат теория характеристик и выделение
разрывов. Все это подробно описано в гл. 2. Затем теория применяется и
дополняется в гл. 3, где подробно обсуждаются вопросы паводковых и прочих
волн, о которых говорилось выше.
Уравнение первого порядка (1.12) называется квазилинейным, так как оно
нелинейно по ф, но линейно по производным (pt и фж. В общем нелинейном
уравнении первого порядка для функции Ф (х, t) допускается произвольная
функциональная связь между ф, Ф( и фж. Об этом более общем случае, а
также о его распространении на уравнения первого порядка с п независимыми
переменными речь пойдет в гл. 2.
В рамках уравнения (1.12) ударные волны появляются как разрывы функции ф.
Однако при выводе уравнения (1.12) обычно используют приближения, строго
говоря не справедливые в условиях возникновения ударных волн. В газовой
динамике соответствующее приближение заключается в пренебрежении
вязкостью и теплопроводностью. Те же самые математические зффекты можно
продемонстрировать на примерах более простых, чем газовая динамика, в
которой впервые были развиты соответствующие идеи. Эти эффекты будут
рассматриваться в гл. 2 и в гл. 3. Самым простым является уравнение
ф t + ффх = ^фхх, (1.13)
на которое, в частности, Бюргере [1] указал как на простейшее уравнение,
объединяющее типичную нелинейность с типичной тепловой диффузией, так что
это уравнение обычно называют уравнением Бюргерса, хотя, вероятно, его
впервые ввел Бейтмен [1]. Это уравнение привлекло еще большее внимание,
когда Хопф [1] и Коул [1] показали, что его общее решение можно получить
Гл. 1. Введение и общий обзор
14
в явном виде. На этом типичном примере можно весьма детально исследовать
различные вопросы, а затем с достаточной достоверностью использовать
результаты в других случаях, когда полное решение получить невозможно и
приходится ограничиваться частными или приближенными методами. Глава 4
посвящена уравнению Бюргерса и его решению.
Для двух независимых переменных, обычно времени и одной пространственной
переменной, общая система, соответствующая уравнению (1.12),
Л"~5г + й^'?Г~ + Ьг==0' г==1* (1Л4)
содержит п неизвестных функций ut (ос, I). (Мы будем пользоваться
обычным соглашением о суммировании по повторяющемуся индек-
су /, 7 = 1, . . ., п.) Для линейных систем матрицы Ац и а}j не зависят
от и, а вектор bt представляет собой линейное по и выражение:
bt = bijuj; (1.15)
заметим, что уравнение (1.5) можно записать в таком виде. Если Ai}, аи,
bt - функции от вектора и, не зависящие от его производных, то система
является квазилинейной. Глава 5 начинается с обсуждения условий,
необходимых для того, чтобы система (1.14) являлась гиперболической (и,
следовательно, описывала гиперболические волны). Затем излагается общая
теория характеристик и разрывов для таких гиперболических систем.
Эта теория была развита на основе газовой динамики, которая и обеспечила
ее наиболее плодотворный физический контекст. Глава 6 содержит весьма
подробный обзор по нестационарным задачам газовой динамики и
сверхзвуковым течениям. В нее включены также задачи о цилиндрическом и
сферическом взрывах, поскольку они сводятся к двум независимым
