Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
теории не будут больше опрокидываться. Имеется узкая область, ударная
волна, в которой вязкость и теплопроводность играют решающую роль; вне
ударной волны вязкостью и теплопроводностью можно по-прежнему
пренебрегать. Параметры течения резко изменяются в области ударной волны.
В расширенной теории без вязкости эта область идеализированно
представляется, поверхностью разрыва, и остается добавить лишь условия на
разрыве, связывающие скачки значений параметров течения.
Мы подробно изучим различные стороны этого явления. Однако газовая
динамика не является простейшим примером, поскольку она описывается
уравнениями высших порядков, так что мы сначала обсудим основные идеи на
примере более простых задач первого порядка. Следует тем не менее
помнить, что первоисточником этих идей явилась газовая динамика и что мы
нарушаем хронологический порядок. Основы теории были заложены Пуассоном
[1], Стоксом [2], Риманом [1], Эрншоу [1], Рэнкином [1], Гюгонио [1],
Рэлеем [1], Тейлором [1] - весьма впечатляющий список. Время, которое на
это потребовалось, показывает, что связать воедино различные стороны
явления оказалось довольно сложным делом.
2.2. Кинематические волны
Во многих задачах о распространении волн рассматривается непрерывное
распределение какого-либо вещества или некоторое состояние среды и (в
одномерном случае) можно определить плотность р (х, t) на единицу длины и
расход q (z, t) в единицу времени. Далее можно определить скорость
течения v (х, t) равенством
Предполагая, что исследуемое вещество (или состояние среды) сохраняется,
можно считать, что скорость изменения его полного количества в любом
интервале хг > х > х2 должна компенсироваться суммарным потоком через
сечения хг и х2, т. е.
XI
[ р (х, t) dx-\-q (хи t)-q(x2,t) = 0. (2.10)
хг
Если р (х, t) имеет непрерывные производные, то можно перейти к пределу
хг -*¦ хя и получить закон сохранения
?+?="• Р-11)
Тл. 2. Волны и уравнения первого порядка
32
Простейшая задача о распространении волн получается в том случае, когда,
исходя из теоретических или эмпирических соображений, можно постулировать
(в первом приближении!) некоторую •функциональную связь между q и р. Если
эту связь записать в виде
Я = Q (Р)> (2-12)
то уравнения (2.11) и (2.12) образуют полную систему. Произведя
подстановку, получим
Рt + с (р) рж = 0, (2.13)
где
с (Р) = <?' (Р). (2.14)
Это приводит нас к уравнению (2.2), общее решение которого дается
формулами (2.5) и (2.6). Наличие опрокидывания заставляет нас
пересмотреть как математическое предположение о существовании производных
функций р и д, так и физическое предположение о том, что соотношение q =
Q (р) является хорошим приближением. Чтобы разъяснить важность этих идей
для дальнейшего развития теории, укажем здесь несколько характерных
примеров. Мы вернемся к их более подробному обсуждению в гл. 3 после
завершения изложения основных теоретических идей.
Забавный (и важный) пример связан с потоком транспорта. Разумно
предположить, что основные черты достаточно интенсивного потока
транспорта можно получить, считая его непрерывным с наблюдаемой
плотностью р (х, t), равной числу машин на единицу длины, и расходом q
(х, (), равным числу машин, пересекающих черту х за единицу времени. На
участке шоссе без въездов и съездов машины сохраняются! В силу этого мы
имеем равенство (2.10). Для движения транспорта разумно также считать,
что расход q определяется главным образом локальной плотностью р, и в
качестве первого приближения предложить существование зависимости (2.12).
Такие функциональные соотношения изучались и в какой-то степени были
установлены рядом инже-неров-транспортников.
Теперь мы можем применить изложенную выше теорию. Ясно, однако, что в
этом случае при возникновении опрокидывания пет недостатка в причинах,
объясняющих возможную неадекватность предпосылок теории. Несомненно,
предположение q = Q (р) является весьма упрощенным взглядом на очень
сложное явление. Например, если плотность изменяется быстро (как это
имеет место вблизи начала опрокидывания), следует ожидать, что водители
реагируют не только на локальную плотность; следует ожидать также, что
проходит некоторое время прежде, чем они соответствующим образом
среагируют на изменение обстановки. Можно усомниться и в самом
предположении непрерывности.
2.2. Кинематические волны
33
Другим примером являются паводковые волны в длинных реках. Здесь р
заменяется площадью А поперечного сечения, зависящей от х и t, когда
уровень воды в реке поднимается. Если д - суммарный расход через данное
поперечное сечение, то зависимость (2.10) между А и q выражает закон
сохранения количества воды. Хотя течение жидкости описывается чрезвычайно
сложным образом, кажется естественным начать с функционального
соотношения д = Q (А) как первого приближения, выражающего увеличение
расхода при повышении уровня воды. Такие эмпирические соотношения
действительно выводились, исходя из наблюдений на различных реках. Но
