Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
величин, действительно сохраняющихся при пересечении разрывов. Ввиду
отсутствия единственности и возможных недоразумений понятие слабого
решения в этом контексте не представляется особенно ценным,[и следует
подчеркнуть, что физические задачи, как правило, первоначально
формулируются в интегральном виде, откуда вытекают как дифференциальные
уравнения в частных производных, так и условия на разрыве.
Однако в упрощенном виде идея слабого решения иногда оказывается полезной
при предварительном рассмотрении задачи. Если, например, нас интересует,
допускает ли уравнение (2.34) движущиеся разрывы как составную часть
решения, то можно испробовать функции
/ (Р) = /о (х) Н {х - Ut) + U, g (р) = So (х) Н (х - Ut) + gi
(здесь Н (х) - ступенчатая функция Хевисайда, а /х, g1 - непрерывные
функции). Подставляя их в уравнение (2.34), мы получим члены типа 8-
функции
(~Uf0 + g0) б (* - Ut) плюс менее сингулярные члены. Отсюда выводим, что
-UU + go = о,
а зто и есть условие на разрыве (2.36), поскольку /0 = [/], g0 = = [gj.
При таком выводе, конечно, не удается избежать неединственности и, кроме
того, 8-функции используются несколько подозрительным образом.
Использование 8-функций в нелинейных задачах обычно исключено, потому что
нельзя придать удовлетворительного смысла степеням и произведениям таких
обобщенных функций: мы ввели искусственную линейность, записав выражения
для / (р) и g (р) в отдельности, вместо того чтобы использовать единое
выражение для р. Конечно, оправданием введению 8-функции служит слабое
решение.
2.8. Построение разрывов; квадратичная Q (р)
47
Для сравнения рассмотрим тот же самый вопрос о допустимости наличия
движущихся разрывов для уравнения (2.20), записанного в виде
др , (р) ,д2р
dt ' дх дх2 '
Если выражения для р и Q (р) содержат члены вида Н (х - Ut), то д2р/дх2
будет включать член вида [р] б' (х - Ut) и не найдется другого члена с
сингулярностью вида б' (х - Ut), чтобы компенсировать его. Таким образом
заключаем, что [р] = 0, т. е. что разрывы недопустимы. Это. несомненно,
полезный вывод для предварительной оценки задачи.
Z.S. Построение разрывов; квадратичная функция Q(р)
После обсуждения этих различных точек зрения вернемся к математической
задаче построения разрывного решения, удовлетворяющего на разрывах
соотношению
= .<? (Рз) - <? (PU (2.38)
Р2 - Pi V '
и представимого в области непрерывности в виде
р = / (|), x = l + F(Qt. (2.39)
Любая многозначная часть волнового профиля (2.39) должна быть заменена
некоторым подходящим разрывом, как показано на
Рпс. 2.8. Построение областей равной площади для определения положения
разрыва в опрокидывающейся волне.
рис. 2.8 *). Правильное положение разрыва можно определить с помощью
следующего простого соображения. Как многозначная,
*) Этот рисунок построен для случая с' (р) > 0, но все формулы этого
параграфа справедливы и для случая с' (р) < 0.
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
48
так и разрывная кривые удовлетворяют закону сохранения. Следовательно,
значения интеграла | р dx для них должны совпадать, и поэтому разрыв
должен отсекать области с равными площадями, заштрихованные на рис. 2.8.
Хотя это определение является совершенно общим, оно неудобно для
аналитических построений. Общин случай слишком сложен, и стоит разобрать
сначала частный пример. Для этого вернемся к случаю квадратичной функции
Q (р). Рассматриваемый случай включает в себя слабые возмущения
равновесного состояния с р = р0, поскольку тогда Q (р) можно
аппроксимировать выражением
Q = Q (Ро) + Q' (ро) (р - Ро) + lU Q" (Ро) (р - Ро)2.
и поэтому обладает значительной общностью.
Рассмотрим
Q (Р) = ар2 4- Рр + у;
тогда
с (Р) = Q' (р) = 2ар + р,
так что скорость ударной волны (2.38) равняется
и = V, (сх + с2),
где Cj = с (Pl), с2 = с (р2).
Простота этого случая состоит в том, что все решение задачи можно
записать только через одну переменную с. Непрерывное решение имеет вид
с = F (?)" (2.40)
х = | + F (I) t,
и разрывы следует строить таким образом, чтобы
U = V* (с, + с2) = 1/2 {F (I,) + F (?,)}, (2.41)
где и |2 - значения | на сторонах разрыва. Поскольку рис связаны линейным
соотношением, из сохранения р следует сохранение с, т. е. на решениях | с
dx сохраняется. Следовательно, для
этого частного случая построение для (р, ж)-кривой, приведенное на рис.
2.8, применимо равным образом и к (с, ж)-кривой.
Для дальнейших ссылок стоит отметить, что это решение, записанное через
с, удовлетворяет уравнению
ct + ссх = 0, (2.42)
а соответствующие слабые решения удовлетворяют закону сохранения
Ct + (с2/2), = 0, (2.43)
2.8. Построение разрывов; квадратичная Q (р)
49
так что условие на разрыве имеет вид
г7 = ?||^Г=1-^ + с2)- (2-44)
Уравнение (2.42) справедливо для случая произвольной зависимости Q (р),
поскольку оно получается умножением на с' (р) уравнения pt + с (р) рж =
0; результат (2.44) всегда является одним
Рис. ]2.9. Построение (областей равной площади: а - для исходного
