Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Если t-*- 00, то g2 -*¦ 0 и F (g2) -*¦ c0; при этом уравнение для |2 (t)
принимает предельный вид
4r{F{tz)-c0}2t~A,
где
А= j (F(g)-c0}dg
"- площадь горба над невозмущенным уровнем с0. Таким образом, при g20 мы
имеем F (g2) ~ е0 -f- \r2A/t. Поэтому выражения (2.50) переходят в
следующие асимптотические формулы для s (t) и с:
s - c0t + V" 2 At,
ZJL (2.51)
с-с0 ~ V2AIU
Линия разрыва асимптотически приближается к параболе, а величина разрыва,
равная (с - с0)/с0, стремится к нулю как ; Решение за разрывом дается
равенствами (2.40), где 0 < g < < g2. Так как g2 0 при f-> оо, все
интересующие нас зна-
2.8. Построение разрывов; квадратичная Q (р)
53
чения ! также стремятся к нулю и асимптотическое выражение имеет вид
с~у, c0t <z х < ctf2At. (2.52)
Это асимптотическое решение и соответствующая (ж, ^-диаграмма
приведены на рис. 2.11. Отметим, что все детали начального профиля
утеряны, в асимптотическом решении фигурирует только
L
величина А = j {F (!) - с0} dg.
о
N-волна
Аналогичным образом можно рассматривать и некоторые другие задачи. Важным
примером является случай, когда F (!) имеет положительную и отрицательную
фазы относительно невозмущенного значения с0, как показано на рис. 2.12.
В зтом случае существуют два разрыва, соответствующие двум областям
сжатия - спереди и сзади, где F' (!) <С 0. Семейства хорд для каждого
разрыва изображены на рисунке. При t-*~ оо пара (!2, !х) стремится для
переднего разрыва к (0, сю), а для заднего разрыва к (- сю, 0).
Асимптотически передний разрыв определяется так:
s~c0t-\-V'ZAt,
Рис. 2.12. Построение разрывов для jV-волны.
Рис. 2.13. Асимптотическая форма А-волны.
2.8. Построение разрывов; квадратичная Q (р)
55
а его величина - так:
с-с0 У 2Alt,
где А - площадь области, расположенной ниже кривой F и выше прямой с =
с0. Задний разрыв определяется соотношениями
s ~ c0t - У 2Bt,
с - с0 ~ - У 2 Bjt,
где В - площадь области, расположенной выше кривой F и ниже прямой с =
с0. Между разрывами решение асимптотически снова представляется так:
с - у, c0t-У 2В1 < ar<Cc0i + У 2 At. (2.53)
Асимптотическая форма iV-волны и соответствующая (ж, ^-диаграмма
приведены на рис. 2.13. Очертания этого профиля напоминают букву N; этим
и обусловлено название Аг-волпы.
Периодическая волна Другой интересный случай - начальный профиль вида
с = F (|) = с0 + a sin (2я|Д). (2.54)
В этом случае уравнения (2.45) - (2.47) для разрыва значительно
упрощаются при всех t. Рассмотрим один период 0 < Н < А, как это сделано
на рис. 2.14. Соотношение (2.45) принимает вид
(Si - Ьг) sin-j- (li + Ьд cos ~ (1, - g2) =
= Asin^(il_|2)sin ".(g1+y,
Гл. 2. Волны и уравненияГпервого порядка
56
и единственное подходящее решение - это тривиальное решение sin ?(|ii|a)
_ oj т> е =
Вычитая и складывая равенства (2.46) и (2.47), получаем
. ________li - ?г______
2а sin [(я/Я) (Н4 -12)] '
, г *•
s = c0t + -g"
соответственно. Изменение^ с на разрыве равно
. 2яНо о • л .в. с. ,
с2-c1 = asm-^--------a sin -^ = 2аsin-j- (|4 - ?2)-
Положим
Ei-i2 = -^-, ii + b=k
тогда
х е_
2яа sin 0 '
в = Со*+4" (2.55)
^=?i=-sine.
Со С0
Разрыв имеет постоянную скорость с0, и этот результат можно было бы
получить заранее из симметрии задачи. Разрыв начинается
с нулевой величины, соответствующей 6 = 0, в момент t = %/(2па). Он
достигает максимального значения 2а/с0 при 0 = л/2, t = = Я/(4а) и,
наконец, затухает при 0 -*¦ л, ?->- оо, с2-ci X
2.8. Построение разрывов; квадратичная Q (р)
57
Интересно, что эта асимптотическая формула не содержит амплитуду а в
явном виде. Однако она применима лишь при условии t А/я. Для любой
периодической функции F (?), сину- F соидальной или нет, ? - "-Я,
при t->¦ оо; отсюда, в силу (2.49),
^2-ci _ ? (Is) - с (li)_?
c0 C0 c0t
Между двумя соседними разры- а
вами решение для с является линейной по х функцией с наклоном 1/г, как и
раньше, и F асимптотический профиль имеет пилообразную форму; см. рис.
2.15.
Слияние разрывов
Если возникло несколько Ъ
ударных волн, то, вообще говоря, одна из них может до-
гнать идущую впереди. В этом F случае они объединяются и продолжают
двигаться как единая ударная волна. Данный процесс также описывается
нашим разрывным решением. Рассмотрим кривую F на рис. 2.16. Возникли два
разрыва, соответст- с
вующие точкам перегиба Р и Q г, " "
Рис. 2.16. Построение сливающихся
с семействами хорд, отсекающих разрывов.
равные площади, таких, как
РуРч и QyQ2. Со временем точки
Qr и Р2 сближаются, пока, наконец, не наступает момент, изображенный на
рис. 2.16, Ь, когда общая хорда отсекает от обоих горбов области с
равными площадями. В этот момент характеристики, соответствующие точкам
Р'2 и Q[, совпадают и, следовательно, разрывы сливэются|в один, как это
показано на (ж, г)-диаграмме (рис. 2.17).
Все характеристики, проходящие между (>' и Р[, теперь поглощены тем или
другим разрывом; двигаться продолжает единый разрыв, определяемый хордами
вида P"tQ"2 (рис. 2.16, с),. для которых принимаются в расчет только
