Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
каждому закрытому множеству S), содержащемуся в X*, ставит в соответствие
вещественное неотрицательное значение ф (S), причем так, что
Ф (Si) + ф(82)+ ... = 9(Si + S2 + ...)
каждый раз, когда множества Si, S2, ... не пересекаются, а ф(Х*) = 1.
Известно, что если разрывные множества D с функциями распределения ф в X*
определены условием ф (D0) Ф Ф ф(Б0), где D0 и Do суть замыкание и
внутренняя часть множества D соответственно, то те борелевы подмножества
SeX', которые представляют собой разрывные множества D, являются
исключительными в такой же мере, как и точки разрыва монотонной функции
одной вещественной переменной.
Функцию распределения (р = tp(S) == q>uv(S) можно получить, очевидно,
следующим образом. А именно, пусть даны в X*
§§ 119-130. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
113
фиксированная интегральная кривая x=x(t) и два конечных момента t - гг, t
= v(>u). Тогда функцию cpUv(S) относительно борелева множества SeX' и
данной интегральной кривой х - - х(1), -оо < ? < +00, определим как
отношение {u,v}/(v - и), где через {и, v} обозначена мера тех точек
данного f-интер-вала длины v - гг, для которых точка x(t) принадлежит S.
Так как, по предположению, интегральная кривая x = x(t), -00 < t < +00,
лежит в X*, то rpuu(S) представляет собой вероятность того, что какая-
либо точка рассмотренного отрезка интегральной кривой x(t)
(соответствующего значениям и < t < г;) лежит в подмножестве S,
принадлежащем X*. Говорят, что интегральная кривая обладает
асимптотической функцией распределения ф = iJj (S), если существует
соответствующая асимптотическая вероятность. Иными словами,
подразумевается существование функции распределения тр (S) в X* такой,
что для любого фиксированного не разрывного множества S значение Tj!u"(S)
стремится к пределу i|>(S) при v-*- + 00, -zz-v +оо.
Конечно, асимптотическая функция распределения т|з (S) (если она вообще
существует) зависит от выбора интегральной кривой x{t) или, другими
словами, от выбора начального значения а:0, принадлежащего X' и
определяющего x(t) в силу соотношения x(t) = г* х° (см. § 121). Поэтому
эту функцию будем обозначать через i|V-
Теорема Биркгофа утверждает, что при условиях div f(x) = О и 0<р(Х*) <
+оо, упоминавшихся выше, асимптотическая функция распределения i|v
существует для всех тех интегральных кривых x(t) = х* х° в X*, для
которых точка не принадлежит множеству с нулевой р-мерой. Другими
словами, "почти все" интегральные кривые, лежащие в неограниченно
продолжаемом инвариантном множестве X*, обладают асимптотической функцией
распределения *).
В частности, легко заметить, что если борелево множество произвольное
фиксированное, то функция tJ)x(S) переменной х
*) Ввиду крайней исключительности "устойчивого" движения в обычном смысле
(см. ниже § 131), а также ввиду запросов статистической механики
естественно ввести на основе эргодической теоремы понятие "распределенной
устойчивости" решения x(t) = т'х0 следующим образом: точка х° но
принадлежит к исключенному множеству меры нуль и обладает тем свойством,
что если переменная точка ieX* стремится к х° произвольным образом
(избегая, конечно, точки исключенного множества меры нуль), то itx(S)
i|>x°(S) для любого непрерывного множества S, соответствующего
асимптотической функции распределения ij)x° для решения x(t) = т'х0.
Чтобы это условие удовлетворялось почти для всех х°, достаточным (но ни в
коей мере не необходимым) условием является транзитивность т' (см. конец
§ 124а).
В А. Уинтнер
114
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
является интегрируемой (по обычной лебеговой мере р) и ее интеграл по
всей области X* равен p(S)/p(X*).
§ 123а. Другой теоремой, справедливой при тех же самых предположениях,
при которых имеет место эргодическая теорема, является "теорема
возвращения" Пуанкаре. В этой теореме утверждается, что в предположениях,
указанных в § 123, меру нульиме-ет множество тех точек х°, которые
принадлежат X* и для которых не выполняется следующее условие: полагая
x(t) = т'г0, можно найти для любого заданного t и для любого е > О
бесконечное число значений tn - tn(t, е), стремящихся при ± оо к лгоо и
таких, что |x(tn) -x(t) | < е при любом п.
"Теорема возвращения" Пуанкаре не вытекает, очевидно, из формулировки
эргодичесной теоремы. Однако она является качественным следствием
некоторого количественного результата (см. § 124), который в соединении с
эргодичесной теоремой позволяет уточнить последнюю.
§ 124. Это уточнение можно сформулировать следующим образом. А именно,
пусть х° - точка, не принадлежащая к множеству меры нуль, упоминаемому в
эргодичесной теореме. Через обозначим множество точек х, принадлежащих X*
и обладающих тем свойством, что любое открытое множество, содержащее х,
обладает положительной асимптотической вероятностью. Другими словами,
точки х таковы, что условие tJv(S) > 0 выполняется каждый раз, когда S
есть сфюра \х - х\ < р с центром в х и с произвольно малым, но
