Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 39

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 202 >> Следующая

§ 46, независимо от того, удовлетворяет или нет функция (6) уравнению
(5). Следовательно, формулы (8) определяют каноническое преобразование у
= у(х, t) с множителем р = 1 и остаточной функцией R = St (см. (21) §
46). Однако поскольку функция (6) удовлетворяет, по определению,
уравнению (5) при фиксированном v, то первая из формул (8) дает, что St +
Н - 0, где Н = Н(р, q, t). Так как R - St, р = 1, то рН + R = 0, т. е.
гамильтонова функция К = К (у, t) системы (I2), в которую
преобразовывается система (li) при подстановке у = y(x,t), обращается
тождественно в нуль. Другими словами, преобразование у = у(х, t) таково,
что 1у' = 0, т. е. y'(t) = 0 вдоль любой интегральной кривой х = x(t)
системы (li). Таким образом, поскольку преобразование у = у{х, t)
является каноническим с множителем р = 1, то 2п компонент вектора у будет
ничем иным, как постоянными интегрирования и именно каноническими
постоянными интегрирования для системы (li).
§ 110. Доказанный результат можно интерпретировать двояким образом.
Действительно, утверждается, что если функция (6) есть полное решение
уравнения (5) и если через у = у(х, t) обозначается локально
топологическое преобразование, которое неявно определено формулами (8),
то
(i) компоненты yi(x,t) вектора у = y{x,t) представляют собой 2п
независимых интегралов системы (li) или же, другими словами, функция x =
x(y,t) есть общее решение системы (li) с 2п независимыми постоянными
интегрирования уй
(и) величины yi образуют совокупность канонических постоянных
интегрирования для системы (li).
Очевидно, что утверждение (i) нельзя рассматривать как результат, который
можно было бы практически использовать для интегрирования системы,
поскольку полный интеграл уравнения в частных производных (5) найти едва
ли легче, чем общее решение системы обыкновенных дифференциальных
уравнений (li) *). Поэтому фактическая ценность результата заключается не
*) Фактически единственное известное в данный момент доказательство
существования полного интеграла уравнения (5) опирается на существование
общего решения системы (li). Кроме того, такое доказательство получаемое
при помощи теории характеристик Коши, предполагает, что функция Н{х, t)
принадлежит классу С<2>. Если же эта функция принадлежит лишь классу С<'>
и даже удовлетворяет дополнительно условию Лип-щица, то об уравнении (5)
ничего не известно. Вместе с тем последнее предположение о свойствах Н,
как известно, достаточно для анализа системы (It).
102
ГЛАВА П. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
в (i), а скорее в (ii), т. е. в правиле, по которому можно найти
различные комбинации постоянных интегрирования (канонических), как только
становится известно полное или общее решение уравнения (5) (или системы
(li)). К этим каноническим постоянным интегрирования применимо основное
правило, указанное в § 107.
§ 111. Рассмотрим семейство интегральных кривых системы (11), описанное в
начале § 98. Любая кривая этого семейства характеризуется начальным и
конечным положениями в позиционном пространстве. Заменив q, t на q, t и
положив t° = 0, можем переписать определение (14) § 98 в виде
t
S(q,t,tf)= ^Ldt, (9)
о
где подразумевается, что интегрирование ведется вдоль интегральной кривой
от начальной (q°, 0) до конечной (q, t) точки в позиционном пространстве.
Интеграл (9) называют действием по Гамильтону по отношению к данному
семейству.
Заметим, что функция S, определяемая согласно (9), представит решение
уравнения (5), причем компоненты вектора q° играют роль постоянных
интегрирования. Действительно, тождества (15i) - (15г) § 98 перепишутся
при принятых обозначениях в виде
S" = p, (10i)
St = -H(p,q,t), (Ю2)
*V=-p°. (Ю3)
Подстановка (10i) в (Юг) показывает, что функция (9) удовлетворяет
уравнению (5) при любом фиксированном q°.
§ 112. Пусть, в частности, найдено такое семейство интегральных кривых,
для которых функция (9) удовлетворяет условию (7) при v - q°. Тогда можно
заключить, что уравнение в частных производных (5) обладает полным
интегралом, который использовался в § 109. Пусть теперь
существование (локальное) ин-
тегральных кривых, для которых функция (9) удовлетворяет условию
det (.S,,ja|{ (q, t, q°))=j=0, i, ? = 1, . . . , га, Ш)
gg 103-118. РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
103
может быть доказано *) в предположении, что Н(х, t) принадлежит классу
С(2). Тогда существование семейства интегральных кривых, для которых
функция (9) удовлетворяет условию (11), равносильно существованию
(локальному) полей в вариационном исчислении. Этот результат,
утверждающий большее, чем просто существование полного интеграла
уравнения (5), будет использован однако лишь для цели, упомянутой в конце
§ 110, и, следовательно, только в тех случаях, когда можно получить
полное решение в явном виде (см., например, §§ 214, 221, 248).
§ 113. Сравнивая (10i), (Юз) и (8), получим, что р° = п, q° = v. Поэтому
результат, изложенный в § 105, можно рассматривать как частный случай
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed