Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 122. Особенно интересны такие системы (1), для которых /7>-строчный
якобиан (4) § 79 (будем его обозначать через D (х°, t)) не зависит от х°
и t. Такие специальные системы (лиувиллевы) можно назвать системами,
сохраняющими объем. Действительно, если D(x°, t) = const, то, полагая в
(4) §79 t = 0, получим, что D(x°,t) se 1. Если считать, что общее решение
(3) § 79 системы х' = f(х) определяет "поток" в пространстве х, то
условие D (х°, t) s= 1 соответствует несжимаемым потокам.
Хотя формула (4) § 79 определяет D(x°,t) в зависимости от общего решения
(3) § 79 системы х' = f(x), однако можно определить, является ли эта
система сохраняющей объем, независимо от общего решения. Для этого
достаточно вычислить диагональ-
§§ 119-130. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
111
ные элементы якобиевой матрицы для /(х) и установить, выполняется или не
выполняется условие div/(x) = 0. Действительно, из (4а) § 79 видно, что D
(a:0, t), т. е. определитель (4) § 79, не зависит от t при любом х° тогда
и только тогда, когда div /(х) = 0 *).
Если х' = /(х) -каноническая система с У2то степенями свободы, то условие
D (х°, t) == 1 удовлетворяется в силу изложенного в § Ю5а. В соответствии
с этим удовлетворяется и условие div f(x) == 0, поскольку компоненты 2"-
вектора f(x) имеют вид -Нх (х), Нх (х), й = 1, ...,га.
ft+n к
§ 122а. Заметим, что если тп - 2 (и только в этом случае), то условие
div/(x) = 0 является не только необходимым, но и достаточным для того,
чтобы система х' - /(х) была канонической. Действительно, пусть через и,
v и g, h обозначены компоненты 2и-векторов х и f(x) соответственно. Тогда
div/ = ?u + A" и условие div / (х) = 0 совпадает с условием существования
скалярной функции Н = Н{х) такой, что g = -Hv, h = Ни.
На этот факт опирается принцип последнего множителя Якоби в случае
систем, сохраняющих объем. Действительно, предположим, что для системы х'
= /(х) известны п - 2 независимых консервативных интегралов F\(x), ...,
Fn-2(x). Обозначим через R = R (ci, . .. , сп_2) пересечение (двумерное)
гиперповерхностей F1 (х) = ci, ..., Fn-z (х) = с"_2, соответствующих
фиксированным значениям сi, .. ., сп_2. Так как последние могут быть
выбраны произвольно, то легко заметить, что проекция на R n-мерного
несжимаемого потока в пространстве х также обладает свойством
несжимаемости *¦*).
В соответствии с этим поток на поверхности R определяется двумя
скалярными дифференциальными уравнениями
u' = g(u,v), v' = h(u,v),
где gu + hv = 0. Однако последнее условие означает, что эта система
является консервативной канонической с одной степенью
*) Например, из (25) § 232 получим, что если система х' = f(x) задана
согласно (24) § 232, где m - 3, то D(xd, t) = 1.
В связи с этим возникает вопрос, в каком случае трехмерный несжимаемый
поток является иаоэнергетическим, описываемым канонической системой
(консервативной) с двумя степенями свободы. Эта проблема, строго
сформулированная и поставленная, а также ее многомерные аналоги до сих
пор не решены. По-видимому, эти проблемы связаны с вопросами из области
топологического анализа, где исследования всегда весьма сложны.
**) Нетрудно обнаружить, что громоздкие якобианы в классическом варианте
метода последнего множителя Якоби служат именно цели нахождения явного
аналитического представления измерений двумерных областей, определяемых
при проектировании.
112
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
свободы, и поскольку имеется интеграл энергии, она может быть решена с
помощью одной квадратуры.
Заметим, что эти соображения имеют чисто локальный характер.
§ 123. Пусть через p.(S) обозначается мера объема в подмножестве S
(измеримом по Лебегу) от-мерного евклидового пространства переменной х,
удовлетворяющей системе (1). Предположим, что данное неограниченное
инвариантное множество X' системы (1) имеет меру д(Х*), отличную и от 0 и
от -f оо. Кроме того, пусть функция f(x) в уравнении (1) удовлетворяет
условию div/(x) see 0 § 122 для сохранения меры р., так что (если
использовать обозначения § 121) p(t(S) = p(S), -оо < t < +°о, для любого
измеримого подмножества SeX*. Тогда множество тех точек 1°ёХ', для
которых интегральная кривая x = x(t) s-= г1 хй в X* не обладает
асимптотической функцией распределения Л''*0 = 4rIG (S), есть множество с
нулевым объемом, т. е. с мерой р = 0.
Этот результат и представляет собой знаменитую эргодиче-скую теорему
Биркгофа (точнее говоря, ее аналог), которая, по существу, не имеет
ничего общего с дифференциальными уравнениями, а является теоремой,
относящейся к общей теории лебеговой меры. Ее доказательство выходит за
рамки этой книги.
Приведенная выше формулировка теоремы для случая рассматриваемого
евклидова пространства включает в себя понятие асимптотической функции
распределения, которая определяется следующим образом.
Под функцией распределения Ф = ф(й) в X* подразумевается функция, которая
каждому борелеву множеству S (т. е. каждому открытому множеству S и
