Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
где у = х°, есть каноническое преобразование с множителем р = 1 и
остаточной функцией R такой, что R совпадает с функцией Гамильтона Н
системы (li).
Действительно, применяя критерий, указанный в § 104, к с = = х° и
замечая, что х = х(х°, to) представит тождественное преобразование х - х°
(являющееся каноническим с множителем р = 1), увидим, что постоянные
интегрирования Xi° являются для системы (li) каноническими. Это означает,
что y = y(x,t), где у = х°, есть каноническое преобразование с множителем
р = 1.
Так как остаточная функция R(y,t) зависит только от преобразования у =
y(x,t), но не от преобразуемой канонической системы, то можно определить
R, применяя преобразование у = = у (х, t) к какой-либо частной системе.
Выберем такую систему вида (11), общее решение которой представит вектор-
функцию, обратную по отношению к у = ~ y(x,t), где у = ха. Поскольку
тогда х° = const, р = 1, система (1г) вырождается в следующую:
0 = Ну + Rv.
В силу § 27 получим отсюда R = -Н, что и требовалось доказать.
§ 105а. Так как из условия р = 1 вытекает в силу § 32, что diet Г = 1, то
отображение . х = х(хР, t) области х° = x(ta) на область х = x(t) в 2га-
мерном фазовом пространстве сохраняет при любом фиксированном t не только
объем, но и ориентацию независимо от гамильтоновой функции Н(х, t)
системы (li). Вместе с тем формула х = х(х°, t) определяет в силу § 34
полностью каноническое преобразование лишь тогда, когда R = 0. Однако,
§§ 103-118. РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 99
поскольку R = -Н, в этом случае получим, что Н = 0, т. е. что (li)
вырождается в тривиальную систему, для которой любое решение есть
равновесное решение (см. § 82).
§ 106. Предположим, что дана гамильтонова система
/х' = Нх(х, 0,
общее решение которой зависит от совокупности х = (х{) канонических
постоянных интегрирования Xi. Тогда если к произвольной гамильтоновой
системе
Iх' = Нх{х, t)
применить преобразование у = х(х,. t), то мы придем к гамильтоновой
системе . ¦ ,
Iу'= Ку (у, t)
с гамильтоновой функцией К(у, t), равной К = Н + Н. Действительно, мы
имеем р = 1. Поэтому соотношение К = Н 4- Н эквивалентно в силу (1г)
условию, что остаточная функция для преобразования х = x(x,t) равна Н или
же (см. § 31) что остаточная функция для преобразования х - х (х, t)
равна - Н. Однако этот факт очевиден из изложенного в § 105 (и в § 104а),
поскольку формула х = х (х, t) представляет общее решение системы
1х' = Нх (х, t),
выраженное с помощью совокупности х - (х\) канонических постоянных
интегрирования.
§ 107. Очевидно, что можно сформулировать изложенное в § 106 также в
обратном порядке.
Пусть известно общее решение x=x(x,t) некоторой частной гамильтоновой
системы
1х' = Нх(х, t),
выраженное с помощью 2п канонических постоянных интегрирования Xi. Тогда
если применить к любой гамильтоновой системе Iу' = Ку(у, t)
преобразование у - х(х, t), то мы придем к гамильтоновой системе Ix' = Нх
(х, t) с функцией Гамильтона
Н{х, t) = K{x(x, f), *) - Н(х(л:, "), 0- (4)
Этот результат представляет собой знаменитое правило "вариации постоянных
интегрирования (канонических)" в теории возмущений.
7*
too ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 108. Пусть дана любая гамильтонова система вида (li) с
H(x,t)=H(p,qxt), Xi = pi, xi+n = qu
Тогда теория дифференциальных уравнений в частных производных первого
порядка (Коши, Гамильтон, Якоби) связывает эту систему с уравнением (так
называемым уравнением Якоби.- Прим. перев.)
St + H(Sq, q, t) = 0 (q = {qi), i=l,...,n) (5)
относительно неизвестной скалярной функции S = S(q,t) в рассматриваемой
(п + 1)-мерной области (g, t). Интегральные кривые системы (li) являются
"характеристиками" этого дифференциального уравнения в частных
производных, содержащего лишь частные производные St, Sqi , ..Sgn
неизвестной функции S, но не саму функцию S *).
Если v\, ..., vn - постоянные интегрирования и функция
S=S(t,q,v), (6)
где q = {qi), v = (щ), представляет при фиксированном v решение (5) и
если эта функция принадлежит классу С<2) в (2п + 1) ~ мерной области {t,
q, v), причем в этой области определитель п-го порядка
Aet{Sq{Vh (f, q, v)) 0 {Sg^ h = Sa^ . л i, к
= 1,... *и), (7)
то iS(t,q,v) называется полным интегралом уравнения (5).
§ 109. Пусть имеется некоторый полный интеграл (6) уравнения (5). Тогда
если мы положим
Sg(t, q, v)=p,
Svi^q, v) = - и
[______________ С)-С)-.
*) Не следует смешивать уравнение (почти всегда нелинейное) в частных
производных (5) первого порядка относительно функции, зависящей от (л +
1) независимых переменных f, qt, с линейным уравнением в частных
производных
WF = Ft + (Я; F) = 0,
которое определяет интегралы F(x, t) системы (li), зависящие от 2л+ 1
переменных f, = ри xi+n = д, (см. (2) § 91 и § 82).
(8)
§§ 103-118. РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 101
то компоненты уг = щ, yi+n = Vi 2п-вектора у образуют совокупность
канонических постоянных интегрирования для (li).
Действительно, соотношения (7), (8) совпадают с (22), (23)
