Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
к постоянной этого интеграла h = 0, соответствующей точке р = 0, q = 0;
2) "кривая" Н(р, q) = hn на плоскости (р, q) имеет замкнутую ветвь,
окружающую область Еп, которая
в свою очередь содержит в себе точку (р, q) = (0, 0) и стягива-
ется при п-*¦ оо в эту точку. Тем не менее из определения функции U\q)
вытекает, что функция
H=±p*-U(q)
(играющая роль функции F(x), рассмотренной в § 134) не имеет в точке (р,
q) = (0,0) ни максимума, ни минимума. Вместе
*) Хорошей иллюстрацией этого является проблема, упомянутая в примечании
к § 134. В этой проблеме выбираемый интеграл F(x) = const представляет
собой не интеграл энергии, а интеграл, гарантирующий постоян ство
кинетического момента.
§§ 131-136. ТОЧКИ УСТОЙЧИВОСТИ
125
с тем эта система не может иметь консервативных интегралов, не зависящих
от интеграла энергии Н(р, q) = const, так как этот интеграл является
уравнением интегральной кривой на плоскости (р, q).
§ 135а. Легко заметить, что в разобранном примере устойчивая точка
равновесия является точкой накопления как устойчивых, так и неустойчивых
точек равновесия. По существу, неизвестно, являются ли или не являются
достаточные условия § 134 необходимыми, когда нет накопления точек
равновесия (например, в случае аналитичности системы). См. также § 477.
§ 136. Предположим, что система х' - f{x) имеет равновесное решение х (t)
= х°, и пусть А - постоянная /"-матрица, представляющая собой якобиеву
матрицу m-вектора f(x), вычисленную при х = х°. Тогда уравнения Якоби
имеют вид (см. § 89) = А?.
Следовательно, можно ожидать, что точка равновесия х° устойчива в
указанном в § 131 смысле тогда, когда характеристические показатели для
решений уравнений Якоби устойчивы (см. § 89), а матрица А не имеет
кратных элементарных делителей. Действительно, эти два условия,
налагаемые на матрицу А, являются, очевидно, необходимыми и достаточными
для ограниченности любого решения ? = i(i)> - < t < +
оо, системы ?' =
= Л?.
Поэтому эти условия в случае постоянной матрицы А выглядят как будто
достаточными для устойчивости (в указанном в § 131 смысле) точки
равновесия х° системы х' = f(x).
Однако простые примеры (канонических систем) показывают, что такое
утверждение ошибочно.
§ 136а. Рассмотрим консервативную систему
*/=-Я*;+2. *;+2 = Я*;.. (li)
где
Н = - (xi + ХЗ ) - (Х2 + Xi) + -~ (хАХз - XtXi - 2х 1X2X3) (12)
Сл
с п=1/2т = 2 степеням свободы. Так как все четыре частные производные НХ1
функции (12) обращаются в нуль в начале координат, то x(t) =0 есть
равновесное решение системы (li).
В соответствии с изложенным в § 101 мы получим соответствующие уравнения
Якоби, заменяя в (li) х на | и сохраняя в Н лишь квадратичные члены. Эти
уравнения имеют следующий
126
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
вид:
li = - Ь, 2^4,
1з' = ii, li = - 2|г-
}
(2)
Из них видно, что четыре собственных числа матрицы А равны s = ± У-1, s =
±2У-1. Они все различны и устойчивого типа (см. § 89). Тем не менее точка
равновесия х - 0 системы (li) не является устойчивой в смысле определения
в § 131.
Действительно, вычисляя четыре частные производные функции (1г), легко
убедимся в том, что система (li) допускает частное решение
Это решение стремится при J -"- ± оо к точке равновесия а: = О, но в то
же время Xi(t) и x2{t) обращаются в бесконечность при Так как система
консервативна, то x(t) можно заменить на x(t - Jo), где Jo - произвольная
постоянная. Выбирая Jo большим, приходим к выводу, что для решения a:(J)
=0 не выполняется ни одно из условий (J), (И) § 131.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
§ 137. Пусть дана линейная система ?' = .4(J)?, где ? = E(J) -
неизвестный лг-вектор и A (J) - заданная лг-матрица, предполагаемая
непрерывной, например, при 0 ^ J ^ J* (или J* ^ J ^ 0). В случае такой
системы осложнения, упомянутые в конце § 79, возникнуть не могут.
Действительно, решение |(J) существует при всех J в промежутке 0 Sj J ^
J* и является единственным независимо от начального условия s(0).
По существу функция jj(J) может быть получена как результат линейного
преобразования вектора ?(0) с помощью лг-матри-цы R(t), причем
определитель det7?(J) выражается с помощью следа *) матрицы A (J). Если
Xi(t) = у2 J-1 cos J, x2(t) =-J-1 cos 2J,
X3(t) = У2 J-1 sin J, х^(J) = J-1 sin 2J.
TO
i'=mi,
= 0),
(11)
(12)
t
detR(t)= exp ^ trA(J)dJ.
0
(U)
*) След m-матрицы В = () определяется формулой tr В - bn + 622 + ... +
bm•
§§ 137-154. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ
127
Действительно, применение к (li) метода последовательных приближений
показывает, что при всех 0 ^ t ^ t*
ОО
я(0=2Дк(0, (20
fc=о t
0*+i(O" ]A(t)Dh{t)dt, D0 = E1 (2г)
D
где E - единичная матрица. Для матричного ряда (2j), члены которого
определяются рекуррентной формулой (22), а также для ряда, получающегося
при почленном дифференцировании
R' = 2Dk'(t),
существует (во всем промежутке сходящийся мажо-
рантный экспоненциальный ряд, не зависящий от t.
Подстановка (12) и (2j) в (li) приводит далее к тождеству
