Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
03j - lj03, где k, h - взаимно простые числа. Так как четыре функции sin
asjt, cos 03jt, j = 1, 2, выражаются рационально через и = tg 72<i)?, то,
исключая t, например, из (5i) и (52), придем к интегралу Ез (х) такому,
что F3 (х) = с3 представляет алгебраическую гиперповерхность (ее
вещественную часть) в X. Грубо говоря, эта поверхность имеет тем больше
самопересечений, чем выше порядок соизмеримости (Oi/co2, т. е. чем больше
| h - h |.
Существенным для дальнейшего является не алгебраический характер этой
гиперповерхности, а именно тот факт, что она имеет лишь конечное число
различных "ветвей".
§§ 119-130. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
117
В случав (ii) для любого е > 0 существует *) пара целых чисел № *= №(е)
,7 = 1,2, такая, что
\ai№ + az№\>\№\>-.
е
Полагая в-"-0**), выводим, что интеграл F3(х), получаемый при исключении
t из (5i) и (5z), обладает следующим свойством.
В 4-мерном пространстве X существует такая область, что если зР - любая
точка этой области, то гиперповерхность (вещественная и обязательно
аналитическая) F3(x) = с3 = F3(x°) имеет в окрестности точки х = х°
бесчисленное количество различных "ветвей", которые не соответствуют,
однако, локальному разветвлению в окрестности точки х = х°. Это
специфическое обстоятельство будет объяснено подробнее в § 126.
§ 126. В дальнейшем предположим, что область (возможно, включающая
полностью или частично свои граничные точки) X, в которой задана
однозначная (класса С(1)) п-вектор-функция / точки х, представляет собой
неограниченно продолжаемое множество X* системы (1) (см. § 120).
Пусть F(x) -однозначная скалярная функция точки г в X, принадлежащая
классу С(1> и не обращающаяся нигде в X в постоянную. Точку х, в которой
градиент Fx(x) обращается в нуль, назовем критической точкой для F(x).
Множество таких точек, если они имеются, нигде не плотно в X. Через Г*0
обозначим "гиперповерхность" F(x) = const, которая проходит через точку
х°, принадлежащую X, или же, говоря точнее, множество всех тех точек,
принадлежащих X, для которых F(x) = c = F(aP).
В частности, х° будет изолированной точкой множества F*° тогда и только
тогда, когда функция F(x) имеет при х = х° изолированный относительный
экстремум. Если х° - критическая точка произвольного вида для функции
F(x), то топологическая структура множества F*0 в окрестности х° может
быть весьма сложной ***). Вместе с тем, если точка х° не является особой
для F(x), то теорема существования пеявной функции в окрестности
*) См. примечание к § 127а.
**) И применяя соображения, основанные непосредственно на рассмотрении
диофантовых приближений; см., например, третье примечание к § 126.
***) Заметим, что F*" может представлять нигде не плотное множество даже
тогда, когда F(x) имеет класс С<°°> (т. е. класс С<*> при любом v). Если
F(x) - аналитическая функция в X и х"- особая точка для F(x), то число
измерений гиперповерхности F1' в окрестности х° может быть любым от нуля
до т - 1; в случае же нескольких критических точек (при анализе в
большом) имеется строгое ограничение, налагаемое хорошо известным
индексовым соотношением Морса.
118
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
зР показывает, что F*° состоит в окрестности х° из связного куска
("ветви") некоторой (т - 1)-мерной поверхности (т. е. гиперповерхности) с
определенной нормалью и не самопересекающейся.
Но как же тогда возможно, чтобы для интеграла F3 (х) = с3 система (4)
обладала бы в окрестности зР в случае (ii), рассмотренном в конце § 124,
бесконечно большим числом "ветвей", по крайней мере, если х° выбрано в
некоторой ?0-области? (Такое обстоятельство представляется
парадоксальным, так как F*° получается с помощью исключения t из
аналитических соотношений (5i) - (5г) и соображения, основанные на
аналитичности, свидетельствуют о том, что рассматриваемая область для ха
может не содержать особых точек функции F3 (х), регулярной при х = z°.)
Ответ опирается на замечание, приведенное в конце § 82. Пусть х = x(t) -
интегральная кривая, проходящая через точку х° = ?(0), и предположим, что
х° не является точкой равновесия системы (1). Тогда равенство х(№) = х(№)
не может иметь места, если № ф- №. Вместе с тем вполне могут существовать
две последовательности значений , t(tm), стремящихся вместе с п к сю, такие,
что
1
|z(<)- д:0| С - или |z(?) - х°| > const > 0
при tn ^ t ^ tn+i , tm ^ in+i соответственно (относительно значений t вне
этих промежутков ничего не говорится). Если применить теперь локальные
теоремы существования в f-окрест-ности любого tn = '/zitn + fn+i) и в z-
окрестности любого зРп) == = x(tn), то поскольку |z<n>- z°J ->- 0, ничто
не препятствует накоплению *) различных ветвей гиперповерхности F*° в
окрестности х°. Этот факт может привести [с большей вероятностью, чем
исключение t в окрестности '/2 (?*п 4- f?+i)] к появлению удаленных
особых точек (или даже особенностей), соответствующих далеким
"разветвлениям" гиперповерхности F*°. Появляющиеся благодаря этим далеким
