Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 40

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 202 >> Следующая

результата, указанного в § 109, когда полный интеграл (6) уравнения (5)
представляет собой действие по Гамильтону (9), удовлетворяющее условию
(11). По существу в §§ 105 и 109 изложены одни и те же идеи, так как в
обоих случаях речь идет о выборе канонического преобразования, которое
переводит данную гамильтонову систему (11) в другую гамильтонову систему
(1г), для которой функция Гамильтона К (у, t) = = К (и, v, I) обращается
тождественно в нуль.
Иногда (см., например, § 117) целесообразно заменить требование, чтобы К
обращалось в (1г) в нуль, менее жестким, а именно, с тем чтобы функция К
зависела произвольным образом от обобщенных координат V{ и времени t, но
не содержала обобщенные импульсы U{, i - 1, . .., га.
В этом случае система (1г) интегрируется также тривиальным образом.
Действительно, система (1д) примет тогда вид
так что если v° = (ui°), "° = (щ°) суть га + га произвольных постоянных
интегрирования, то общее решение и = u(t), v = v(t) этой системы
представится формулами
и его нахождение сводится к квадратурам. Возможность такого
преобразований (локального) любой гамильтоновой системы к три-
(12)
V=s Ц°>
U = U° -
\Kv(v°J)di = и°-( lK(v°J)dt'j 0 (13)
*) См. примечание к § 110.
104
ГЛАВА ГГ. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
виальному виду (12) вытекает из того, что уже при К (и, v, t) =¦ = 0 в
(1г) мы приходим к частному случаю системы (12). Правда, проблема
определения канонического преобразования, приводящего гамильтонову
систему (li) к виду (12), не отличается от проблемы интегрирования этой
системы (см. § 110).
§ 114. Ниже мы будем рассматривать случай консервативной гамильтоновой
функции Н (х, t). Уравнения (1Д и (5) запишутся тогда в виде
Если k - некоторая фиксированная постоянная и W(q, h) -некоторый интеграл
уравнения в частных производных
представляет, очевидно, интеграл уравнения (142). Также очевидно, что
если S - S(q,t)-интеграл уравнения (142), то функция W, определенная
согласно (16), есть интеграл уравнения (15). Кроме того, можно показать,
что определенная таким образом функция W не зависит явно от t, т. е. что
любой интеграл *^(9i0 уравнения (142) есть линейная функция t (см. § 115,
а также §§ 99, 111).
Пусть уравнения (14i) подвергнуты каноническому преобразованию,
представляющему собой каноническое расширение данного преобразования q =
q(q) в позиционном пространстве. Тогда гамильтонова функция преобразуется
как инвариантный вектор, а импульсы - как компоненты ковариантного
вектора в позиционном пространстве (см. § 48). Так как градиент Wq
функции W= W(q) также преобразуется как ковариантный вектор, то описанное
выше соответствие между уравнениями (15) и (14j) сохраняется при любом
координатном преобразовании и его каноническом расширении.
§ 115. Если S = S(t,q,v)-полный интеграл уравнения (142), то он является
линейной функцией t, т. е. функция W, определенная согласно (16), не
зависит от t.
Действительно, если S(t,q,v) -полный интеграл (142), то соотношения (8) §
109 определяют общее решение системы (14j),
Р'= ~нЛр, 9). я' - Нр {.Pi ?),
St + H(Sq, q)= 0.
(14*)
H(Wq, q) = h в n-мерной области q, то функция
S=-ht + W
(15)
(16)
§§ 103-118. РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 105
зависящее от постоянных интегрирования и, и. Поскольку подстановка в
(14г) величины Sq, определяемой согласно (8), показывает, что St
совпадает с H(p,q), и поскольку система (14i) имеет интеграл энергии Н{р,
q) = const, то ясно, что St не может зависеть явно от времени. Учитывая
также (16), придем окончательно к выводу, что Wt = 0.
Можно также сделать вывод, что фиксированная постоянная h в (15)
совпадает с постоянной интеграла энергии Н{р, q) = const системы (14i).
§ 116. Пусть функция
W=W{q,v), (17)
где q - (<?,-), v - (Vi), a vu . .., vn рассматриваются как постоянные
интегрирования, принадлежит классу в рассматриваемой области (q, v).
Тогда если, с одной стороны,
det(V^giUft (g, v)) = 0 (И^"Л = ^vk9i^ ^ = > га)> (18)
а с другой стороны, в результате подстановки (17) в левую часть уравнения
(15) мы придем к функции, зависящей лишь от и, то (17) называется полным
интегралом уравнения (15). Постоянная
h = h(v) (19)
в уравнении (15) представит тогда функцию п постоянных интегрирования Vi.
Из изложенного в § 115 видно, что формулы (16) и (15) устанавливают
взаимное соответствие между полными интегралами (6) и (17) уравнений (5)
и (15). Действительно, поскольку в силу (16) при hq = 0 имеем
^qi^qivh' (^
то условия (7), (18) полноты интегралов эквивалентны друг другу. Отсюда
следует, что если функция (17)-полный интеграл уравнения (15), то
соотношения
P = Wq(q,v), u = hv(v)t-Wv(q, v) (21)
определяют (неявно) при фиксированном t такое локально топологическое
соответствие между (р, q) и (и, п), что функции р - - Р.(0" Ч~ 9(0
представят общее решение системы (14)), зависящее от канонических
постоянных интегрирования и, v. Это становится очевидным из изложенного в
§ 109, если учесть, что (21) совпадает с (8) в силу (16) и (19),
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed