Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
разветвлениям **) ветви могут при их
*) Это положение можно сравнить с тем, которое возникает в случае функции
z = z (ш), обратной по отношению к трансцендентной целой функции w =
w(z). Функция z = z(ш) обладает тем свойством, что, хотя некоторая точка
w - wa является регулярной всюду на римановой поверхности, но значения z,
принимаемые функцией z(w) в окрестности w° на различных листах, образуют
z-области с точкой накопления z = z (ш°).
**) Это положение можно было бы сравнить с тем, которое возникает в
случае неразветвленнмх абелевых интегралов. Эти интегралы, хотя и уни-
формизируются в локальном смысле римановыми поверхностями подынтегральных
алгебраических функций, являются неоднозначными функциями течки на
римановой поверхности. Правда, фактически положение ближе к тому, которое
возникает при гиперболической инверсии проблемы Якоби (см. примечание к §
1281,
gg 119-130. нелокальные понятия
119
продолжении вдоль интегральной кривой легко достичь точек х<п\
соответствующих значениям l/2 (tn + ?n+i), и накопляться в окрестности
х°.
§ 127. Пример в § 125 является достаточно простым и позволяет думать, что
факт, изложенный в предыдущем параграфе, соответствует не "вырожденному",
а довольно общему случаю, когда функция в системе (1) достаточно
произвольна.
Однако хотя этот факт и отражает основное убеждение современной динамики,
но, несмотря на все усилия, удовлетворительного его доказательства еще
нет. Убеждение это состоит в том, что система общего вида в силу
постулатов классической статистической механики, но прежде всего в силу
исследований Пуанкаре, Адамара, Леви-Чивита и Биркгофа, а также в силу
результатов подробных исследований, относящихся к группам Фукса или к
геодезическим линиям на поверхностях отрицательной кривизны,
характеризуется если не метрической, то региональной транзитивностью (§
124а).
§ 127а. Рассмотрим, например, уравнения (2) § 121а в предположении, что X
- тор, 0 ^ xi < 1, ..., 0 ^ хт < 1, полученный редукцией по модулю (я1,
..., Пт) - (1, ..., -1). Предположим, что s = т., где целое
неотрицательное число s(^Zm) таково, что в рациональном поле существует
только s линейно независимых чисел At-, образующих компоненты то-вектора
f(x) = А = const. Тогда каждая интегральная кривая представляет собой
локсодрому, регионально транзитивную *) в X.
§ 128. Используя предположения и обозначения § 126, придем к выводу, что
если то = 2, то F*" представляет собой интегральную кривую, проходящую
через х°. Если же то > 2, то эту интегральную кривую можно представить
как общую часть то - 1 множеств F1", соответствующих то - 1 независимым
консервативным интегралам Fj(x) (см. § 82). Поэтому какой-либо интеграл
F(x) имеет значение постольку, поскольку он позволяет сделать вывод о
возможном положении в будущем (или в прошедшем)
*) В силу так называемой теоремы аппроксимации Кропекера (при т = 2
получим обычное свойство непрерывных дробей; см. неравенство для г<'>, im
в случае (ii) § 125).
Фактически в этом случае имеет место не только региональная (Крояе-кер),
но и метрическая (Вейль) транзитивность (см. § 124а). Известно (X. Бор),
что в данном случае из региональной транзитивности непосредственно
вытекает и метрическая транзитивность. Заметим, что множество нулевой
меры, исключенное в §§ 123-124, является в данном случае пустым.
120
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
точки х = х(1) на интегральной кривой, проходящей через хР при t = 0
(случай точки равновесия x(t) = х° при этом не исключается). С этой точки
зрения знание интегралов вида Fs(x) = с в случае (ii) § 125 или F(х\,х2)
§ 127а оказывается совершенно бесполезным.
Те интегралы системы (1), которые не являются бесполезными в этом смысле,
назовем изолированными*). Подробное и явное определение изолированного
интеграла предполагает выбор топологии . в большом для рассматриваемого
неограниченно продолжаемого инвариантного множества. По существу, вся эта
проблема имеет значение лишь при условии ограничений аналитичности
рассматриваемых функций.
Для того чтобы интеграл (1) был изолированным, однозначность функции F
(х) в X, т. е. отсутствие точек самопересечения на поверхности F1" при
любом ха, не является ни необходимым, ни достаточным условием. Об этом
свидетельствуют примеры изолированного интеграла F$(x) в случае (г) § 125
и неизолированного интеграла F(xь х2) в конце § 127а.
§ 129. В классических работах был получен ряд результатов отрицательного
характера. Одним из них является наиболее простая теорема Брунса,
уточненная затем Пенлеве. Эта простейшая теорема утверждает, что система
вида х' = f(x) в задаче трех и большего числа тел (в прямоугольных
координатах) не обладает консервативными алгебраическими интегралами
F{x), отличными от алгебраических комбинаций семи известных еще в
середине XVIII в. интегралов. Следует, однако, сказать, что подобный
изящный отрицательный результат не имеет какого-либо значения в динамике.
