Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
одно и то же решение. Если две неограниченно продолжаемые интегральные
кривые имеют по крайней мере одну общую точку в области X, то эти две
кривые тождественны друг другу в силу единственности локальной начальной
задачи для системы (1). Разумеется, под неограниченно продолжаемой
интегральной кривой понимают множество точек х = х, которые могут быть
представлены с помощью неограниченно продолжаемого решения x(t) по
формуле x - x(t), -oo<i<+oo. Неограниченно продолжаемая интегральная
кривая не обязательно замкнута в X. Очевидно, что любая точка равновесия
(§ 83) есть неограниченно продолжаемое решение и что любая неограниченно
продолжаемая интегральная кривая представляет инвариантное множество для
системы (1) (см. §81).
§ 120. Каждое множество X* точек х, состоящее из совокупности (конечной
или бесконечной) точек неограниченно продолжаемых интегральных кривых,
является инвариантным множеством. Назовем такое множество X*
неограниченно продолжаемым инвариантным множеством для системы (1).
Разумеется, X' должно представлять собой подмножество области X, в
которой задана }(х).
Например, пусть т = 2, и пусть система (1) имеет вид
§5 116-130. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
109
где X: -оо < xt < + оо, 0 < х2 < + оо. Ее общее решение следующее:
Xi(t) = lg (? - t) + const, xz(t)=t - t.
Можно сделать вывод, что неограниченно продолжаемых решений в данном
случае нет и что область X не может содержать неограниченно продолжаемое
инвариантное множество.
Вместе с тем пусть, например, тп = 1, f(x) = 1, область X: -оо < х < +оо.
Тогда вся область X является неограниченно продолжаемым инвариантным
множеством X*. Отсюда вытекает, что X* не обязательно представляет собой
ограниченное множество. Если же X* ограниченно, то оно может не быть
компактным, т. е. замкнутым.
Используя соображения, аналогичные приведенным выше в § 84, легко
получим, что если подмножество Х+ множества X компактно (т. е. оно
таково, что применима теорема Гейне - Бо-реля) и если Х+ представляет
собой инвариантное множество (см. § 81), то тогда это множество является
неограниченно про--должаемым и инвариантным подмножеством X*.
§ 121. Для любого неограниченно продолжаемого инвариантного множества X'
системы (1) и при любом вещественном t можно определить взаимно
однозначное преобразование тг множества X* самого в себя, полагая
x(t) = х*х°,
где х° - некоторая точка множества X* и x(t) -решение системы (1), для
которого x(t°) ~ х°. Действительно, точка т( х° множества X*,
определенная таким образом, не зависит от выбора 1° (см. § 119). Из факта
существования и единственности решения системы (1) также вытекает, что
для произвольных fi, ?г и для любой точки х° множества X* имеем
т 4r(fc) = xtr?U.
Это значит, что х*'хи = т(,+Ч Таким образом, преобразования х* множества
X*, соответствующие различным значениям t, образуют группу (циклическую).
Действительно, положим t\ = t, ti=-t. Тогда, поскольку т° - тождественное
преобразование множества X* самого в себя, то х~* является
преобразованием, обратным к х* (см. § 79). _
Если X - множество точек х, принадлежащее X*, то через т4Х обозначим
множество всех точек х*х при заданном t. Таким образом, X представит
инвариантное множество для системы (1) в смысле определения в § 81 тогда
и только тогда, когда тгХ = X
110
ГЛАВА И. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
при любом t. Заметим, что инвариантное множество X, состоящее из одной
точки х, представляет собой точку равновесия x(t) = = х - const (см. §
83).
§ 121а. В предыдущих параграфах, а также и ниже можно рассматривать
область (х) для системы (1) не как множество, содержащееся в то-мерном
евклидовом пространстве х, а скорее как область, имеющую евклидову
структуру лишь в окрестности каждой точки, но не в большом.
Пусть, например, данная область m-вектор-функции f(x) есть все евклидово
пространство, и пусть существует г т) положительных постоянных Ль ..., лг
таких, что при замене xj на xi + / = 1, ¦ ¦ ¦ I rI функция f(x) = flx\,
..., хт) не изме-
няется. Тогда можно рассматривать х\, . .., хТ не только как линейные, но
также, как угловые переменные, определяемые с точностью до mod щ, ...,
mod яг. Если, в частности, г = тп, то топологическую структуру области X
в большом можно выбрать различными способами. Два крайних случая -
евклидово пространство и тор. Это справедливо при произвольных Ль ...,
яг, если f(x) не зависит от х, т. е. если
х' - X = const, (2)
так что x(t) = Xt -f- х0.
Соответствующие замечания относятся к преобразованию X с помощью
разрывных групп преобразований, при которых правая часть в (1) § 118
остается инвариантной.
Другое обобщение результатов, изложенных в §§ 119-121, можно получить,
допуская, что X представляет собой не область в смысле определения в § 2,
но состоит из открытого множества и из некоторых или всех граничных точек
этого открытого множества. В таких случаях будем говорить, что X -
замкнутая или частично замкнутая область.
