Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
фиксированным радиусом р.
Обозначим через Рх" замыкание интегральной кривой x(t) = = т* х°: -оо < t
< +оо, при некотором фиксированном х° или, иными словами, совокупность
тех точек множества X', которые или принадлежат кривой x(t) - т' х° или
являются предельными для точек этой кривой. Хотя само собой очевидно, что
?*" содержится в Рх°, однако и из эргодической теоремы и из теоремы
возвращения, вместе взятых, не вытекает, что ?х° = Рх° почти для всех х°.
Тем не менее 2ХС = Рх° почти для всех х°. В этом утверждении и
заключается уточнение эргодической теоремы.
К такому результату, непосредственно не вытекающему из содержания самой
эргодической теоремы, можно прийти после внимательного анализа
доказательства Биркгофа, если учесть свойства непрерывности групп
преобразований т' (которые всегда гарантируются благодаря условиям,
налагаемым на правые части исходных дифференциальных уравнений) *).
*) Если использовать результаты Адамара, то из равенства 2*о = вытекает,
что подмножество 2*°, принадлежащее к замкнутому, зргодиче-
§§ 119-130. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
115
§ 124а. Естественно поставить вопрос о том, как можно характеризовать
частный случай, когда асимптотическая вероятность W(S) совпадает с
евклидовой мерой объема |г(S) множества S для почти всех х° и для любого
борелева множества S, принадлежащего X* (в силу последнего замечания в §
123 этот случай имеет место тогда и только тогда, когда асимптотическая
вероятность для данного S не зависит от х° почти для всех я0).
Оказывается, что ответ заключается в так называемом условии метрической
транзитивности. Это условие соответствует требованию, чтобы
рассматриваемое множество X* не содержало каких-либо измеримых
инвариантных множеств X, для которых р(Х) не равно ни нулю, ни мере р
(X*) для всего X*.
Интегральная кривая х (t) = х{х° называется регионально транзитивной в
X*, если Pi0 = X*. Сама система называется зонально транзитивной в X*,
если условие Р*0 = X* имеет место почти для всех х°, принадлежащих X*. В
соответствии с § 124 этот случай имеет место тогда и только тогда, когда
2*" = X* почти для всех х°, принадлежащих X*. Это условие, очевидно,
выполняется в случае равномерно распределенной метрической
транзитивности.
§ 125. Для лучшего понимания материала, изложенного в §§ 126-130,
рассмотрим прежде всего пример системы (1) при лг = 4, где правые части
суть частные производные Нх. {х) от квадратичной формы 1
скому и неограниченно продолжаемому множеству X*, является инвариантным
множеством. Поэтому из определения множества следует, что если х°, уа
суть две точки, не принадлежащие к исключенному множеству^ нулевой меры,
и если инвариантные множества 2*°, 2У° имеют по крайней мере одну общую
точку, то одно из них обязательно содержит другое.
Фактически, возможно, что в этом случае множества 2*" и 2 "о попросту
совпадают друг с другом. В соответствии с терминологией Биркгофа, эта
возможность выражается словами, что если х° не принадлежит множеству с
нулевой мерой, то интегральная кривая "минимальная". Согласно теореме
Биркгофа это минимальное свойство фиксированной интегральной кривой i(7)
= т'г° можно характеризовать и непосредственно следующим образом.
Для каждого е > 0 существует 2 = U > 0 такое, что при любом to можно
найти в любом заданном 7-интервапе длины I момент 7, в который |*(2) -
г(7о) 1 < е.
(3)
причем tOj = const > 0. Она записывается тогда в виде
8*
116 ГЛАВА П. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
так что
/ // . 2 "
Xj+2 = Xj, Xj+2 + 0)j Xj+2 = U.
Обозначая все 4-мерное евклидово пространство через X, заключаем на
основании § 89, что само X представляет собой неограниченно продолжаемое
инвариантное множество X* в смысле определения, данного в § 120. Нетрудно
найти явное выражение общего решения x(t) = х(х°, t), а:0=а:(0).
Дальнейший переход
от (3) § 79 к (5) § 79 показывает, что в данном
случае систе-
ма (4) имеет тп = 4 независимых интеграла
Xj COS CDjt + Xj+tfS3j Sin CD= Xj° (5j)
Xj+2 COS 03jt - Xj03j 1 sin 03jt = Xj+2, (5j+2)
где j = 1, 2. В силу изложенного в конце § 82 исключение t в этих
интегралах позволит получить т - 1 = 3 независимых консервативных
интеграла
Fh (х) = сь(= const).
Прежде всего, исключая t в (5j), (5J+2), получим два интеграла
Fj (х) == х?+ 03? х?+2 = Cj (^ 0), 7 = 1,2.
Если Cj =/= 0, то гиперповерхность Fj{x) = Cj представляет собой в X
гиперцилиндр. Пересечение двух гиперповерхностей в Fj (х) ~ Cj
представляет собой тор (если ни одно из с:- не равно нулю). В любом
случае Fj(x) - Cj представляет алгебраическую поверхность (ее
вещественную часть) как при j = 1, так и при 7 = 2. Это справедливо при
любых численных значениях постоянных ti)j > 0 в (3).
С другой стороны, структура последнего консервативного интеграла Ез(а:)
очень сильно зависит от того, является ли отношение соi/0Э2 рациональным
(случай ?) или иррациональным (случай U).
Пусть в случае (i) наибольший общий делитель о" и шг равен аз, так что
