Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
106
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 116а. Предположим, в частности, что одна из п постоянных интегрирования
Vi в данном полном интеграле (17) уравнения (15) представляет собой
постоянную энергии h. Пусть, например, h = - vn. Тогда hVn = 1, hV]c =0,
к<п (см. (19)). Подставляя эти величины в (21), обозначая постоянную ип
через t° и заменяя щ, Vi на Pi, Qi соответственно, получим, что
где W = W{qi qn, Qn) есть неявное представление
общего решения системы (14i), зависящего от 2п каьонических постоянных
интегрирования
§ 117. В соответствии с изложенным в § 110 смысл формул (21) или их
частного случая (22) заключается в том, что они дают возможность найти
каноническую совокупность постоянных интегрирования. В тех задачах, в
которых такая операция не представляет существенного интереса, часто
бывает целесообразно использовать известное полное решение уравнения (15)
несколько иначе. Пусть W = W(q, со) -некоторая скалярная функция двух га-
векторов q= (qt),co= (<щ) класса C(2\ причемйе^И^,^) ф 0.
Тогда формулы
определяют полностью каноническое преобразование (р, q) в (о, х) ¦ Это
очевидно из общего правила (20) - (21) § 46, если положить и - о), v = х,
S = W, так что St = 0. Соответственно с этим преобразование (24)
переводит любую систему вида (14<) в следующую:
е силу % = Wa(q, со). Таким образом, если данная функция W(q, со) есть
полный интеграл уравнения (17), причем компоненты cot вектора и играют
роль п постоянных интегрирования (вместо Vi), то К(ш, х) = Мсо) в силу
(15) и (19). Тогда система (25) сводится к следующей:
p = Wg(q, со), х= w"(9, ш)
(24)
с/ - Кх, %' - Кш, где К=К(а, х) = Я(р, q) в силу (24). Следовательно,
Я(со, x) = B(Wg(q,a),q)
(25)
со'=0, х/ = М(r))
§§ 119-130. НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
107
п имеет, следовательно, общее решение
ш = ш°, х = vt + Х°, (26)
где v = h0 (ш°) = const, а компоненты двух гс-векторов ы4, х° суть
постоянные интегрирования (не канонические, так как вектор, канонически
сопряженный с ш, равен % - \t + х°) •
Такопа желаемая нормальная форма *) общего решения системы (14|).
Разумеется, опять остается справедливым последнее замечание, сделанное в
§ 113. Действительно (25) - (26) есть частный случай (12) - (13), если
поменять между собой роль обобщенных координат v, % и обобщенных
импульсов и, ю.
§ 118. Из §§ 114-116 видно, что соображения, изложенные в § 111, можно
полностью применить и к уравнению (15) (см. также §§ 98, 99). Тогда v в
(17), (19) положим равной v = q°, а функция (9) заменится следующей **):
1
W4","e) = ** + S'(g,t,g'>) = $ (27)
о
где h - h(q°) (см. (16) ,§ 114 и (17), (18), (202) § 99).
Пусть, в частности, значение h в (15) заранее задано. Тогда (19)
показывает, что постоянная энергия h = h(v) = h(q°) для интегральных
кривых, составляющих семейство, которое было рассмотрено в § ill, должна
быть выбрана независимо от q°. Функция (27) называется тогда
изоэнергетическим действием***), соответствующим изоэнергетическому
семейству решений.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 119. Предшествующие понятия и соображения имели локальный характер. Это
замечание относится также и к § 84, где предполагалось (но не
доказывалось), что частное решение x = x(t) системы
x' - f{x), (x~(xi), / = (/т), 1=1,..., та) (1)
*) Эта нормальная форма, введенная Пуанкаре, полезна, например, при
рассмотрении формальных тригонометрических разложений в небесной
механике.
Обобщенные координаты х, и обобщенные импульсы ш* представляют собой с
точностью до тривиальных нормирующих множителей угловые координаты и
канонически сопряженные моменты действия в классической квантовой теории
(обычно физики обозначают х = ю, ш = J).
**) По этому поводу см. последнее из соотношений (22) § 116 и (19) § 99.
***) функцию W называют обычно действием по Лангранжу. (Прим-перед.)
108
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
существует в i-промежутке произвольно большой, но фиксированной длины Л/<
+ оо. Понятия, которые будут рассмотрены теперь, касаются проблем
исследования на бесконечной оси t, т. е. проблем исследования в большом,
для которых нельзя, очевидно, применить общую теорию, аналогичную
рассмотренной в § 79 или в § 84.
Частное решение х = x(t) системы (1) назовем неограниченно продолжаемым,
если оно существует при -оо < i < +оо. Разумеется, значения x(t) при
любом t должны находиться в области X, в которой задана функция f(x)
класса C(v), v ^ 1, и что производная x'(t) конечна при любом t-t (иначе
функция x(t) не будет удовлетворять системе (1) при t= t). Например, если
т = 1, f(x) = х2 и X: -оо < х < оо, то неограниченно продолжаемым
является лишь равновесное решение x(t) = 0. Все остальные решения имеют
вид x(t) = (? - i)_1. Если положить f(x) = 1, то все решения системы
неограниченно продолжаемы, но не являются ограниченными.
Если х (t)-неограниченно продолжаемое решение, то таково же и решение x(t
- i°) при любом t° = const, и мы будем рассматривать x{t - t°) и x(t) как
