Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
поля. Фактически соотношения в §§ 98-99 не связаны с понятием и с
существованием поля экстремалей (Бельтрами, Вейерштрасс, Пуанкаре,
Гильберт) и были выведены значительно раньше (Гамильтон, Якоби).
**) Результат этого параграфа, часто вновь открываемый в математической
литературе, восходит к ранним усилиям в области классической
статистической механики, когда старались отыскать аналогию между
теоремами обычной (т. е. не статистической) механики и вторым законом
термодинамики.
***) Это предположение существенно. Оно не удовлетворяется при
фиксированном с = с, если, например, т(с) ведет себя в окрестности с = с
так, как |с - с|'/я или как кубичный корень из (с - с)2. Этим объясняется
тот факт, что для семейства периодических решений ограниченной проблемы
трех тел период является однозначной функцией постоянной интеграла
энергии лишь в некоторой локальной области, но не в большой.
94
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
в (lli), увидим, что соотношение (12) сведется в силу (11г) к следующему:
S5(c)= - Л(с)бт(с).
Действительно, второй член в правой части (12) тождественно обращается в
нуль, а третий сокращается с четвертым. Так как символ (Иг), применяемый
к функциям лпгаь одного с, может быть заменен символом d полного
дифференцирования в области изменения с, то dS - -h dx. Так как
d(hx) = hdx-\-x dh,
то, обозначая через W = W(c) функцию S + xh от с*), можем написать dW = х
dh. Теперь dW (с) =т(с) dh(c) показывает, что если т постоянных
интегрирования с3-, входящих в h = h(c), варьируются таким образом, что
h(c) остается без изменений, то И7 (с) также не изменяется. Это означает,
что W - функция одного лишь h. Это справедливо также и для производной W
по h. Так как соотношение dW = т dh показывает, что эта производная
существует и равна именно периоду т, то доказательство можно считать
законченным. Также видно, что т не зависит от h (т. е. все решения
семейства имеют общий период) тогда и только тогда, когда функция W = W
(А), а вместе с тем и функция S(h) = W (h) - х (h)h линейны относительно
h.
§ 101. Предполагая далее, что системы (1) и (6) обе консервативны, можем
применить результаты, изложенные в § 85, к какому-либо определенному
решению х = х (t) системы (!) или к соответствующему решению q=q(t)
системы (6). Из определений (8) - (9) § 85 сразу видно, что уравнения
Якоби, определяющие смещение решения x = x{t) системы (1) или решения q =
- q(t) системы (6), представляют собой также гамильтонову или лагранжеву
систему соответственно, а именно
ir = HE, н(^)=4^я**тт (210
или
[L]x = 0, L(x'1x,t) = ~tLa(z(t))Z. (2U)
В этих уравнениях 2ге-матрицы квадратичных форм Н, L представляют собой
матрицы Гесса гамильтоновой или лагранже-
*) Здесь функция W вводится произвольно. Однако ниже, в §§ 116а. 118 мы
увидим, что эта функция имеет более глубокий и более общин
смысл. См. также (18) - (20) § 99.
§S '91 -102. ГАМИЛЬТОНОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ СИСТЕМЫ
95
вой функции Н(х), L(z) вдоль данного решения, а х = (xj), z = (Zj) суть
2н-векторы с компонентами
Xi == Pi, Х(+п === Qii zi - , zf+ti == 9z-
Наконец, ^ и 5 представляют собой смещения решений х = x(t), z = z(t)
соответственно (см. § 8G), причем ?= (и', и).
Легко далее проверить, что гамильтонова и лагранжева функции Н и L
связаны друг с другом в смысле определения, данного в § 15.
Так как система (1), где Ht = 0, обладает интегралом (3), то из (14) § 87
видно, что уравнения в вариациях для решения х = = x(t) системы (1) имеют
интеграл
Е-ЯЛ*(0)=Ь, (22)
где h = const, если Нх(х) == 0.
§ 102. Если смещение решения х = x(t), т. е. решение ? = ?(f) уравнений
(211) таково, что постоянная h интеграла (22) обращается в нуль, то Е =
?(?) называется изоэнергетическим смещением решения x - x(t). Это
означает, по существу, что те смещения (т. е. согласно § 86 те
инфинитезимальные смещения), для которых постоянная энергии h = H(x(t)),
соответствующая данному решению, удовлетворяет соотношению
Я(*(0 + ЬЕ(0)=Л + о(|Ь|),
характеризуются обращением в нуль постоянной h интеграла (22). В то же
время для любого смещения, т. е. для любого решения Е = |(?) уравнений
(21i) и для соответствующей этому решению постоянной h интеграла (22)
справедливо соотношение
Я(*(О + ЬЕ(О)=* + 0(|Ь|р
Рассуждения при доказательстве этого утверждения те же, что и в конце §
86. Из изложенного в § 86 далее видно, что и при Ь = = 0и при h ф 0
функция f(i)+h?(i) не представляет собой решение системы (1), (поэтому
o(|h|), 0(|h|) должны рассматриваться так же, как функции t), однако
оценки o(|h|), 0(|h|) удовлетворяются равномерно в промежутке 0 ^ t ^ М
(см. § 86).
Эти факты становятся понятными, если рассмотреть, как и в § 87, семейство
решений x = x(t, е) системы (1), обращающихся при е = 0 в решение х =
x(t). Очевидно, что для решений этого
*) Под 0(e) и о(е) подразумеваются такие величины, что |0(e)/e[< const, |
о (е) / е ( 0 при е 0.
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
