Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 82. В соответствии с изложенным в § 80, соотношение G(x, I) = 0
является в случае скалярной функции G = 0 класса С(1) инвариантным тогда
и только тогда, когда оно определяет в области (x,t) гиперповерхность, на
которой функция AG(x,t) от (х, t) обращается тождественно в нуль.
Возможен такой случай, что функция AF(x,t), соответствующая некоторой
скалярной функции F(x, t) класса С^\ обращается в нуль не только на
гиперповерхности F{x, t) = 0, но и во всей области (х, t). В
противоположность сказанному в § 80 это будет тогда и только тогда, когда
соотношение AF(x, t) = 0 удовлетворяется тождественно само по себе (а не
в силу соотношения F(x, t) = 0, что требовалось бы согласно (iia) § 80).
Функция F(x, t) представляет тогда решение линейного уравнения в частных
производных AF = 0, записываемого согласно (2а). Так как каждое начальное
условие (z°, ?°) определяет интегральную кривую x = x(t), то из (2)
видно, что указанный случай имеет место тогда и только тогда, когда
(F(x(t), t))' = 0, т. е. когда F(x(t), t) = с = const вдоль каждой
интегральной кривой х -х (t) уравнения (1). Тогда скалярную функцию
F(x,t) (не вырождающуюся в постоянную в (т + 1)-мерной области (х, t) или
соотношение F(x,t) = с,-где с - произвольная постоянная, называют
интегралом уравнее ния (1).
Разумеется, значение с, соответствующее какой-то определенной
интегральной кривой x = x(t), является в силу равенства F(x°, t°) = с
функцией начальных условий х° - x(t°), t°. Если с имеет фиксированное
значение со, то соотношение F(x, t) = со не есть интеграл, а записанное в
виде
G (х, t) = F (х, t) - со = 0
оно представляет лишь инвариантное соотношение. Действительно, если
функция G(x, t) есть интеграл, то она не должна содержать постоянную
интегрирования.
В соответствии с изложенным в § 18 назовем интеграл F(x, t)
консервативным, если он не содержит t. Тогда F(x) = со, где Со = /(г0),
определяет интегральную гиперповерхность, проходящую через точку х = х°.
Эта "гиперповерхность" может
80
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
состоять из единственной точки и представляет всегда инвариантное
множество (см. § 81).
Очевидно, что любая скалярная функция интегралов уравнения (1) также
представляет собой интеграл уравнения, если только она принадлежит классу
и не вырождается в постоянную. Следовательно, можно рассматривать I
интегралов Fi,... ,Ft как независимые, если только функции F\(x, t),. ..,
Fi(x, t) являются независимыми в указанном в § 18 локальном смысле.
Из формулы (5), представляющей обращение (3), видно, что скалярные
компоненты m-вектор-функции x(x,t°- t) представляют собой тп интегралов
уравнения (1), причем эти пг интегралов являются в силу (4) независимыми.
Все упомянутые тп независимых интегралов могут не зависеть от t лишь в
том случае, если f(x) = 0. Действительно, пусть уравнение (1) имеет тп
независимых консервативных интегралов Fi(x) = сI, ..., Fm(x) = cm. Тогда
любая интегральная кривая должна представлять собой линию пересечения
гиперповерхностей Fi(x) = Ci, причем Ci = Fi(x(t0)). Так как m-функции
F\, ..., Fm являются независимыми, а гиперповерхности лежат в m-мсрном
пространстве х, то, полагая с = (с,), получим, что x(t) =с вдоль каждой
интегральной кривой x = x(t). Отсюда следует, что в уравнении (1) /(я)
=0. Наоборот, если f(x) = 0, то равенства х\ = с\, ..., хт = ст
представляют собой тп независимых консервативных интегралов системы (1).
Хотя тп консервативных независимых интегралов уравнения (1) существуют
лишь при условии, что f(x) = 0, однако это уравнение всегда имеет тп - 1
консервативных независимых интегралов Fj (х), . .., Fm-i (х). Для того
чтобы в этом убедиться, достаточно исключить соответствующим образом t° -
t из тп независимых интегралов, представляющих компоненты т-вектор-ного
соотношения (5). Разумеется, что полученные таким образом тп - 1
независимых интегралов Ft (х), . .., Fm-\ (х) имеют лишь чисто локальное
значение не только по отношению к t (см. конец § 79), но и по отношению к
х.
§ 83. Несмотря на возможные осложнения, о чем упоминалось в конце § 79,
говорят иногда о семействе всех решений х =x(t) уравнения (1) и называют
(3) общим решением (вместе с тем формула (5), где t° фиксировано,
представляет тп интегралов этого уравнения).
Решение х = x(t) уравнения (1) назовем равновесным решением, если
траектория х - x(t) представлена в области х одной точкой х = х° = x(t°).
Это будет тогда и только тогда, когда 1(х°) = 0, поскольку равенство
x'(t) 0 не может выполняться
для единственного значения t = t°, если оно не выполняется для
g§ 79-90. ЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
81
лсех t, так что x(t) = хй. Действительно, пусть функция х = х(1)
удовлетворяет уравнению (1) в некотором i-интервале, содержащем момент t
= f°. Если х' (<°) = 0, то 0 = f(x°) и, таким образом, x[t) = х° есть
одно (и только одно в силу единственности) решение уравнения (1),
удовлетворяющее начальному условию x(t°) = х°. В соответствии с этим
