Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 26

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 202 >> Следующая

Так как т = 3, то для двух векторов а, b определены не только скалярное
произведение а-Ъ = Ь-а,но и векторное произведение а X b =
-b X а. Полагая [с| = ]/с2 ^ 0, где с2 = с-с, полу-
чим из (1), что
|я-&|2 + \aXb\2= | а |21 b |2, (2)
откуда
|лХЬ|*^|в||Ь|, \a-b\ ^ \a\\b\. (2i)
Тождество (2) можно легко обобщить на случай четырех 3-векторов
(я-с) (b-d) - (a d) (b-c) = (а X b) (с X d). (3)
5*
ee
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Если v - v(t)-не обращающаяся в нуль векторная функция класса С(1) в i-
интервале, то скаляр | у (0 | также принадлежит классу поскольку из
равенства f г; |2 = v2 вытекает, что
\v\\v\' = vv', (4)
откуда в силу (2)
1М'КИ. (40
§ 66. Пусть ортогональная 3-матрица ?2 (для которой определитель равен
+1) представляет функцию А (2) класса С(2). Так как А'А - единичная
матрица, то (А'А)' = 0 и А_1А' = -(А_1А')'. Следовательно, матрица А-1А'
является кососимметрической, а й = А (2) определяет 3-вектор S = S(t) и
3-матрицу 2 = 2(2), для которых
АЛ f 0 -[sa sz \
^~ I * )' ?=Q_lQ'= 0 - Si] = -Е', ( (5)
\S3J \-S! *1 0 J
fl' = fl-1.
Следовательно,
5' = (fl'fl')' = fl'fl" + fl''fl' = fl-ifl" - Efl'fl' - A^fl" - 22, т. e.
fl-ifl" = Z' + Z2, (6)
где
22 = (siSft - | S14ih), 151 ¦2 = s,2 + sz2 + S32.
§ 67. Формулы (5) определяют при любой заданной матрице А (2) ss А'-1 (2)
матрицу 2(2) = - Z'(2), а вместе с тем и вектор 5(2). Однако можно начать
с задания произвольного вектора 5(2), а затем определить матрицу A (2),
удовлетворяющую формулам (5). При этом матрица A (2) определится при
заданном 5(2) и начальном значении А(0) (за которое может быть выбрана
произвольная ортогональная матрица с определителем, равным +1)
единственным образом.
Действительно, если S(t), а вместе с тем и 2(2) даны, то условие А-1А' =
2 представляет собой не что иное, как линейное однородное
дифференциальное уравнение для А (2). Следовательно, может существовать
лить единственная матрица А (2), соответствующая 5(2) или 2(2) и равная
при 2 = 0 заданной матрице А(0). Вместе с тем такая матрица А (2) всегда
существует, и так как fl-'fl' = 2, то она равна
I
й = А(2) = fl(0)exp Jz (t)dt. (7)
§§ 85-78. ВРАЩЕНИЯ
69
Действительно, интеграл от кососимметрической матрицы также является
кососимметрической матрицей, а из § 60а с очевидностью следует, что ев
является ортогональной матрицей с определителем, равным +1, в случае
любой кососимметрической мат-
§ 68. Нетрудно также показать, что вектор S = S(t), соответствующий
матрице й = Q (i), удовлетворяет условиям, указанным в § 65. Для этого
достаточно лишь доказать (см. (5)), что если кососимметрическая матрица
й'й' = 2 = 2(г) соответствует матрице й = й(?), а следовательно, матрица
й'й' = 2 = %(t) соответствует матрице Й=РЙР-1, гдe_P~l-P' - const, то Х,-
РХР~1. Действительно, матрица 2 = й'й' может быть записана в виде
(PQPy (PQP'P)' = (РЙ'Р') (РЙ'Р') = РЙ'ЙФ' = P2P-1.
§ 69. Тот факт, что соотношения, приведенные в §§ 66-67, являются
ковариантными при преобразованиях Р = const группы вращений, станет
теперь очевидным, так как будет показано, что матричные операции в § 65
эквивалентны операциям с произведениями векторов.
С этой целью обозначим через 3 = S (t) вектор, в который преобразуется
вектор X = X (t) евклидового пространства вращением й = й(?) этого
пространства. Тогда
Предположим, что функции й(?), X(t) переменной t, а следовательно, и 3
(?) принадлежат классу С<2).
Очевидно, что знаки компонентов si,S2, S3 вектора S = S(t), определяемого
согласно (5), должны быть выбраны так, чтобы
где крестом и точкой обозначены векторное и скалярное умножение
соответственно. При этом ТХ, где Т = 2, 2', 22(2' = ,
рицы 0.
XX = S X X,
Х'Х = S'XX,
Х2Х = {S-X)S- {S-S) X,
(9.)
(9*)
(9з)
70 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
22 = 22), обозначает вектор, в который преобразуется вектор X после
преобразования с помощью матрицы Т. Так как при дифференцировании матрицы
2 получим в соответствии с (8)
S' = Q'X + QX'.
3" = S2X" + 2Q'X' + S2"X, то из (5) и (6) видно, что
Q-*E' = X' + 2Х, (10i)
Q~lE" = X" + 22X' + (2' + 22)X. (102)
Наконец, из (8), (9i), (10i), (92) и (102) получим
Q-1S ' = X' + SXX, (Hi)
Q_1(H X S') = X X (X' -j- S X X), (112)
Q~lE" = X" + 25xA" + ^'Xl-f (S-X)S - (S-S)X. (113)
Разумеется, через A + В X С + D обозначается матрица А +
{В X С) + D.
Заметим, что в силу (5) получим S(t) =0 тогда и только тогда, когда Q(i)
= const.
§ 70. Ниже мы будем отождествлять евклидово пространство, упомянутое в §
69, с пространством вектора S, определяемого согласно (8). Таким образом,
X = Q-1H - координатный вектор во "вращающейся" системе координат (х, у,
z), в который ортогональная матрица Q-1 = Q_1(f) (с определителем, равным
+1) преобразует "не вращающуюся" систему координат (|, т), ?).
Соответственно этому можно подразумевать под X = X(t) и Е = = 3(t) -
Q(t)X(t) заданные траектории одной и той же частицы в двух системах
координат, а под векторами Е' или Е" и X' или X" - абсолютные и
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed