Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
представление х - х{1).
§§ 79-90. ЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
77
где (/t) =/, (xi) = х, то в соответствии с (1) интегральные кривые x=x(t)
отличаются от произвольных кривых x=x(t) в пространстве х тем, что вдоль
интегральной кривой удовлетворяется соотношение
(F(x,t))' = AF(*,0. (2)
где F(x, t) - произвольная скалярная или векторная функция класса в (т +
1)-мерной области (x,t).
Так как правая часть (1) не содержит явно время t, то из теоремы
единственности следует, что решение x - x(t), рассматриваемое как функция
от х° = x(t°), /°,/, является функцией лишь х° и t - t°, т. е.
x=x(x°,t - ?°), (х(а:0, 0) = х°). (3)
Также известно, что если f(x) принадлежит классу в X, то лг-вектор-
функция х(а:°, t) -решение (1), а также частная производная хДя0, t)
принадлежат классу СМ в (т -f- 1)-мерной области (a:0, t). Эта область
представляет собой произведение *) пространства X* на интервал -а < t <
а, причем X* есть некоторая область, состоящая из тех точек х° области X,
замыкание которых ограничено и содержится в X, так что число а 1> 0
выбирается для всех х° в X* независимо от х°.
Наконец, известно, что якобиева матрица хх° является в рассматриваемой (т
+ 1)-мерной области (a:0, t) неособенной, т. е. что
detx*°(a;0, 0 (х-сДя0, 0) = Е). (4)
Таким образом, если подставить (3) в (1) и продифференцировать полученное
re-векторное тождество по каждому из п компонентов х°, то с учетом
правила дифференцирования определителей получим **), что
(lg det хх°)' = div /. (4а)
Заметим, что если t - t° фиксировано и 11 - t° | < а, то в соответствии с
(4) отображение (3) области х° на область а: в X* принадлежит классу C[v]
в смысле определения, данного в § 5.
Обратное отображение определяется формулой
x° - x(xliP - t), (5)
где х - та же функция, которая выписана в (3). Действительно, каждой
точке области X и каждому моменту t соответствует одна и только одна
интегральная кривая, так что эквивалентность (5)
*) См. примечание к § 9.
**) Расходимость div/ для / = f(x) определяется как след якобиевой
матрицы /* (о следе матрицы см. примечание к § 137).
78
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
и (3) следует из возможности замены начального положения конечным, м
наоборот.
Конечно, переход от (3) к (5) является законным лишь тогда, когда х°
лежит в некоторой области X*, которая обладает ограниченным замыканием,
содержащимся в X, а значения |i- i°| меньше некоторой постоянной,
зависящей от X*. В частности, нельзя быть уверенным в существовании
фиксированного t(=? f°) такого, что функция (3) определена при этом t и
всех х°, принадлежащих X. Этот факт ведет к очевидным осложнениям. Мы не
будем их всегда подчеркивать, но о них нельзя забывать.
§ 80. Пусть дана /-вектор-функция G = G(x, t) класса С<0 в
рассматриваемой (тп + 1) -мерной области (x,t). Предположим, что
(i) в этой области существует по крайней мере одна точка (х, t), в
которой G(x, t) = 0, и
(ii) если х - x(t) - некоторая интегральная кривая для (1), то условие
G(x(t),t) =0 или удовлетворяется при всех t, или, наоборот, не
удовлетворяется ни при каком t вдоль этой интегральной кривой.
Тогда система I соотношений, отвечающих условию G(x,t) - = 0, называется
инвариантной системой для уравнений (1). Из (2) видно, что (г), (") можно
также выразить, потребовав, чтобы
(ia) i-векторное условие G(x,t) - 0 не было противоречивым в (тп -f- 1)-
мерной области (х, t);
(iia) условие AG(x, t) удовлетворялось тождественно в области (х, t) в
силу G (х, t) - 0.
Скалярная инвариантная система (I = 1) называется инвариантным
соотношением. Если I > 1, то каждое из I скалярных соотношений,
составляющих инвариантную систему G(x,t) = 0, может не представлять собой
инвариантное соотношение. Например, если х = ?(?) -некоторое частное
решение (1), то G(x, t) = 0, где G(x,t) = х - %(t) представляет собой,
очевидно, инвариантную систему I = тп уравнений.
§ 81. Множество X*, которое состоит из точек х, лежащих в области X, и
содержит по крайней мере одну точку, называется инвариантным множеством
для (1), если оно обладает следующим свойством: для каждой точки х*
множества X* существует достаточно малое положительное число р = р (ж*)
такое, что если х = = x(t) -некоторое решение, для которого х* = x(t")
при соответствующем t - t*, то точка x(t) принадлежит множеству X* для
всех t, при которых |я(г) - х'\ < р.
Очевидно, что если инвариантное соотношение G - 0 консервативно в
указанном в § 18 смысле, т. е. если G зависит только от х вместо того,
чтобы быть функцией х и t, то G(x) = 0 пред-
§§ 79-90. ЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
79
ставит уравнение, определяющее инвариантное множество. По существу,
понятия инвариантного множества и консервативной инвариантной системы,
по-видимому, едва ли различимы. Однако замкнутое инвариантное множество
X* : G(х) =0 может иметь для (1) довольно сложную структуру даже тогда,
если функции f(x) и G(x) очень гладкие (так что этот вопрос приобретает
интерес лишь в случае ограничения аналитичности).
