Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 33

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 202 >> Следующая

от t, т. е. было бы равновесным решением. В этом случае интегрирование
системы (8) требует лишь нахождения характеристических чисел и
инвариантных множителей матрицы А.
Характеристические числа матрицы А, т. е. корни s уравнения det(s? - А)
=0, назовем характеристическими показателями уравнения = Про чисто мнимые
показатели (включая нуль) говорят, что они устойчивого типа. Очевидно,
что если любое решение \(t) уравнения ?' = А? остается ограниченным при t
-> ± оо, то все характеристические показатели должны быть устойчивого
типа. Обратное утверждение несправедливо, так как уже в случае одного
кратного инвариантного множителя матрицы А общее решение уравнения |' =
А? содержит "вековые" члены.
Ясно, что уравнение ?' = АЪ, тождественно якобиевой системе по отношению
к любому решению ? = Е(0 ¦
§ 90. Начиная с § 79 мы предполагали, что правая часть уравнения (1) не
зависит явно от t. Однако это не приводит к потере общности, так как
можно рассматривать t как (т + 1)-ю переменную хт+\. Действительно, пусть
вместо (1) дано уравнение х' = /(х, t), где / = (/г), х = (х\), i = 1,
..., т. Тогда, полагая /о = 1, х0 = t (так что ?0° = t°)i заменяем
уравнение х' = /(х, t) следующим:
где 7 = (/,¦), *х = (xj), / = 0, 1, . . ., т.
Например, можно сказать, что (14) является интегралом системы (8), если
только Fx(x(t)) не обращается в нуль при всех? (см. §82).
ГАМИЛЬТОНОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ СИСТЕМЫ
§ 91. Пусть Н = Н(х,1)-функция Гамильтона, для которой Hx(x,t)
принадлежит к классу С(1) в (2п + 1)-мерной области (х, t). Тогда система
(см. обозначения в § 19)
называется соответствующей гамильтоновой системой уравнений.
х' + 1Ях(х, *)=0 (I-* =-1)
(1)
или
р'= -Hq(p, q, t), Я' = Нр(р; q, t)
§§ 91-102. ГАМИЛЬТОНОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ СИСТЕМЫ
87
Очевидно, что две такие системы, соответствующие функциям Гамильтона Н\ и
//г, эквивалентны одна другой тогда и только тогда, когда разность Н\ -
Нг не зависит от х. Поэтому, если система (1) консервативна, т. е. если
Нх(х, t) не зависит от t, то можно полагать, что и функция Н (х, t)
консервативна, т. е. что Hi = 0.
Полагая f(x,t) = -lHx(x,t), можно записать (1) в виде
x'=f(x,t). (12)
В частности, если Я = Я(х, t) - некоторая функция класса С*1' в (2п + 1)-
мерной области {х, I), то полная производная по t функции F(x, t) =
F(x(t), t) вдоль любой интегральной кривой х = x(t) системы (1) равна в
силу (1!)) § 2U
F' = Ft + Fx-x' = Я, - FX-1HX ==Ft-\- (Я; F),
так что в силу (24i) §21 F' = УЯ. Это означает, что в случае
гамильтоновой системы можно заменить Д в (2) § 79 на V, т. е. что при
любой функции F = F(x, t) имеем
ДЯ = F' = Fi + (Я; F) V F (2)
вдоль интегральной кривой а: = x(t) системы (1).
§ 92. В соответствии с (25) § 21 функция V (F1; F2) переменных х, t
обращается тождественно в нуль каждый раз, когда обращаются в нуль VF1 и
VF2 (функции F1 и F2 предполагаются класса С<2)). Поэтому из (2) и из
определения интеграла (§ 82) следует, что если F1 и F2 суть интегралы
системы (1), то либо функция (Я1; F2) переменных х и t сводится к
постоянной (например, это будет тогда, когда Я1 и F2 находятся в
инволюции; см. § 23), либо У(Я1;Я2) также является интегралом системы
(1). В последнем случае (Я1; Я2) может не являться новым интегралом
системы (1), т. е. независимым по отношению к Я1 и Я2 (см. §§ 23-24).
Из (2) и изложенного в § 82 видно, что консервативная функция F(x) класса
С(1), не являющаяся постоянной, есть интеграл системы (1) тогда и только
тогда, когда она находится в инволюции с функцией Гамильтона Н(х, i) при
любом фиксированном I. Так как (G; G) = 0 (см. § 20), то из (2) также
видно, что если Н(х, t) г= 0 (т. е. если / = 0; см. § 82), то сама
функция Н(х, t) является интегралом системы (1) в том и только в том
случае, когда Ht = 0. Таким образом консервативные гамильтоновы системы
вида (1) характеризуются существованием "интеграла энергии"
Н(х) = h, (3)
где h = const = Н(хР), так что постоянная h интеграла энергии
88
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ II НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
является функцией класса С(2) от 2га начальных значений, соответствующих
2га-вектору х° = x(t°).
§ 93. Неконсервированная гамильтонова система (1) с л степенями свободы
может быть заменена консервативной гамильтоновой системой
Pj = - нч^ (Р,Ч).
q'j = . (p, q)
(7 = 0, l,...,ra)
(4)
с (га -f- 1) степенями свободы, где qj = qi, Pj = р, для / = i > 0 (см.
также §§ 9a, 90). К такой системе мы придем, если примем время t за (га +
1)-ю координату и определим консервативную функцию Гамильтона Н(р, q),
положив
Н(р, q) = H(p, q\ g0) -f- Ро, (5)
"7o = t,
где ро пока произвольно. Очевидно, что та группа уравнений (4), в которых
/ > 0, совпадает с уравнениями (1). При / = 0 мы получим уравнения
Ро' =-Ht(p,q,t), qn = 1,
так что
(Н(р, q))/== 0 qo - t t.
Следовательно, постоянная интегрирования, t должна быть взята равной
нулю. Равенство (H(p,q))' = 0 удовлетворяется вдоль любого решения
консервативной системы (4), так как эта система имеет интеграл энергии Н
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed