Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
точка х = х° пространства х называется точкой равновесия, если f(x°) = 0.
В частности, исключительный случай существования т независимых
консервативных интегралов (§ 82) можно рассматривать как такой, когда
любая точка х есть точка равновесия.
Следует отметить, что если решение х = x(t) уравнения (1) не является
равновесным, то соответствующая интегральная кривая в пространстве х
имеет при каждом t касательную и не имеет точек возврата. Действительно,
если это не так, то мы получили бы, что x'(t0) = 0 при некотором t = <°
и, следовательно, х'(t) = Ои x(t) =л:(<°).
§ 84. Без потери общности можно положить <° =0, так что общее решение (3)
уравнения (1) запишется в виде х = х(х°, <), где х° = х (я0, 0).
Предположим, что дано частное решение х - = х(ха, t), соответствующее
некоторому фиксированному х° = = х°, и пусть известно, что оно существует
не только в некотором малом i-промежутке в силу локальной теоремы
существования (§ 79), но и в достаточно широком промежутке 0 ^ i М.
Подразумевается, что точка х = х (я0, i) принадлежит при 0 ^ i ^ М
рассматриваемой области X, введенной в § 79.
Покажем,что сколй велико ни было бы данное число М Ф- оо), можно выбрать
такое малое б > 0, что решение х - х(ос°, t) уравнения (1) существует во
всем промежутке 0 ^ i ^ М, если начальное условие х (г°, 0) = х°
удовлетворяет неравенству | х° - х° | < б.
С этой целью рассмотрим при произвольном т) > 0 область тех точек
пространства х, для которых \х - х(х°, <) | < т) по крайней мере при
одном значении i в промежутке 0 ^ i ^ М. Так как множество X, введенное в
§ 79, открытое, то можно выбрать положительное г] столь малым, что Хч
содержится в замкнутом и ограниченном подмножестве множества X. Тогда
положительное число а, указанное в § 79, можно выбрать так, что оно будет
пригодным для любой точки х = хо области Х^. Другими словами, если х - х0
- некоторая точка Хл, a i = i0 - некоторая точка оси i, то решение х =
x(t), удовлетворяющее начальному условию x(to) - Хо, существует во всяком
случае в интервале t0 - а < t < t0 + а, где а не зависит от хп и t.
Выберем to внутри промежутка 0 ^ t ^ М. Тогда, поскольку значения Хо и to
определяют вместе одно и только одно локальное решение,
6 А. Уинтнер
82 ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
видно, что справедливость высказанного выше утверждения следует из теории
покрытия Гейне-Бореля.
Так как фупкция х(х°, t) в силу изложенного в § 79 непрерывна, а
следовательно, равномерно непрерывна на каждом замкнутом и ограниченном
множестве, то при любом е > 0 можно утверждать о существовании такого б =
бе > 0, что
|x(:rr, t) - х(5°, ?) | С е при 0 ^ t ^ М всякий раз, когда \х° - 5;0| <
б.
Заметим, что все это справедливо независимо от того, насколько велик
конечный фиксированный промежуток [О, М\, на котором предполагается
существование частного решения х(х°, t).
§ 85. Так как функция х(х°, t) принадлежит согласно изложенному в § 79 к
классу C(v), где v ^ 1, то, применяя формулу Тейлора, получим, что
х{а:°, t) = x(S°, t) -\-R(t) (х° - х°) + о( |ж° - х°) *) (6)
равномерно в промежутке 0 ^ t ^ М при х° х°, причем
R(t) = {хх°(х°, i))*°=-V (7)
обозначает якобиеву матрицу для х (х°, t) по ос0, вычисленную при х° =
х°. В силу (4) R(0) = Е. Можно рассматривать формулу (6) как приближенное
представление общего решения х (х°, t).
Весьма существенным является то обстоятельство, что для составления
матрицы (7), а вместе с тем и приближенной формулы (6) требуется знание
общего решения не исходной системы (1), а лишь линейной системы
Г = 4 (ОБ. (8)
где A (t) - известная та-матричная функция t, а именно якобие-ва fx{x)
вдоль данного частного решения х = х(т°, 0 системы (1):
A(t) = (/jc (х)) х=*(х°, о- (9)
Действительно, пусть есть i-й компонент тга-вектора ? = l(t),
удовлетворяющего системе (8), и пусть через gft(?) обозначено при
фиксированном к (= 1 ,. .. , тп) частное решение этой системы,
удовлетворяющее тп начальным условиям (0) = i = 1,
. .., тп, причем ец<. - единичная матрица. Тогда если тп решений
(0) ¦ • ¦, Бт (0 известны, то, поскольку /с-й столбец матрицы
*) О символе о см. примечание в § 11.
§§ 79-90. ЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
83
SR{t) составляется из компонентов вектора t), становится из-
вестной и эта матрица. Это утверждение эквивалентно условию
R'(t)=A(t)R(t), (10)
причем R(0) = ? в силу (7). Справедливость же этого условия может быть
доказана следующим образом.
В соответствии с изложенным в § 70 классу v ^ 1, принадлежит не только
функция х(л:°, t), но и ее производная xt(a:0, t) = х'(х°, t).
Следовательно, в силу (6)
х'(л:0, t) = х'(х°, t) + R'(t) (х° - х°) + о (|z° - л;°|) (11)
равномерно в промежутке 0 ^ t М при л:0 х°. Кроме того,
функция x(t) = х(л:°, t) представляет собой решение системы (1) при
произвольном л;0, в частности, и при х° - х°. Таким образом,
х/(л:°, t) - х'(х°, t) = /(x(x°, t)) - f(x(x°, t)).
Однако, учитывая (G) и (9) и применяя формулу Тейлора, получим, что
