Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
относительные скорости или ускорения частицы.
Так как компоненты этих векторов скорости и ускорения параллельны
координатным осям ?, т], ? и x,y,z соответственно, то из (8), т. е. из
формулы X = Q_13, с очевидностью следует, что проекции абсолютной
скорости и абсолютного ускорения на оси х, у, z вращающейся системы
координат равны компонентам векторов и Q_1E" соответственно.
Этот факт указывает на кинематический смысл формул (10i), (102) или
(lli), (Из).
§§ 65-78. ВРАЩЕНИЯ
71
§ 71. Для данной траектории S== 2(4) частицы в невращаю-щейся системе
координат (?, т]>?) можно всегда выбрать вращение ?2(4) такое, что
частица будет оставаться при любом 4 в плоскости (х, у) вращающейся
системы координат ?2~*(4)3 = == X: (x,y,z), т. е. будем иметь z(t) = 0.
При условии такого выбора ?2(4) соотношения (lli), (И2) приводятся с
учетом (5) и (8) к виду
поскольку также z'(t) == 0, еслиг(4) = 0.
Заметим, что условие z(t) =0 может быть удовлетворено для любой заданной
функции 3 = 3(4) при существенно различном выборе ?2(4), так как можно
преобразовать любое заданное вращение ?2(4) с помощью произвольного ?2о =
?2о(4) так, что ось z вращающейся координатной системы X : (х, у, z)
остается неизменной.
§ 72. То условие, что плоскость (х, у) вращающейся системы координат
(x,y,z) вращается, оставаясь в плоскости (?, ц) невра-щающейся
координатной системы (g, ц,^), может быть записано с помощью трех
эквивалентных друг другу соотношений:
Действительно, соотношение (13i) представляет собой тождество по 4 при
соответствующей ф = ф(4) тогда и только тогда, когда z = ?. Условие же
(132) является в силу (7) необходимым и достаточным для того, чтобы имело
место (131).
Наконец, (13з) эквивалентно в силу (5) условию (132).
72
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
§ 73. Пусть траектория Е = Е(?), рассмотренная в § 70, лежит в неизменной
. плоскости невращающейся координатной системы Е : (?, т], ?). Тогда
можно выбрать эту плоскость в качестве плоскости (х, у) вращающейся
координатной системы X : (х, у, z), удовлетворяющей условиям, при которых
z(t) = 0.
Учитывая условия (13i), (13г) и формулы (8), получим, что (Hi) и (Н3)
могут быть записаны в виде
Ы-ф'А
Q^E'^I y' + qM, (14i)
/т" - 2ф'у' - ф'2а: - ф'я Q-iE" = у" + 2ф'а:' - ф'аг/ - ф"а:
V о
в то время как (Иг) сводится к скалярному соотношению
?т|' - ?)?' = ху' - ух' + ф'(я2 + у2). (143)
Действительно, тогда z(?) = U, z'(?) = 0 и z,/(0 = Q.
§ 74. Сравнивая §§ 68 и 72, можно заключить, что вращение, определяемое
функцией ?2(?), является вращением вокруг подобранной соответствующим
образом неподвижной оси тогда и только тогда, когда существует
ортогональная матрица Р, не зависящая от ? и такая, что
все элементы третьей строчки и третьего
столбца кососимметрической матрицы 7,2(?)7,~1, где 2 = равны нулю при
всех t.
§ 75. Из последнего замечания в § 58 вытекает, что любая
кососимметрическая 3-матрица может быть приведена с помощью
ортогонального преобразования к нормальной форме, причем все элементы
третьей строки оказываются равными нулю. Поэтому из изложенного в § 72
следует, что Q(?) определит вращение относительно некоторой неподвижной
оси, если 2 = const, т. е. все
три компоненты я,- вектора^ не зависят от t. (Это условие
доста-
точное, но необходимое.) Согласно (7) такое вращение характеризуется
функцией Q(t) = Q(0)e<2, где 2 - произвольная кососимметрнческал
постоянная матрица.
§ 76. В последующем t имеет произвольное фиксированное значение, а
рассматриваемые матрицы постоянны. Для произвольной кососпмметрической
матрицы 0 положим
( о [-ft ща%\ (й\
0= d3 0 -dj, D= d, L (15)
\-d2 d1 0/ \dj
(14.)
§§ 05-78. ВРАЩЕНИЯ
73
так что
02 = (ад-|Д|2Е,
где Е - единичная матрица и |D|2 = (di2 + d22 + d32)V: ^ 0 (cm. (5),
(6)).
Покажем, что 3-матрица Я является ортогональной с
определителем, равным +1, тогда и только тогда, когда
существует
кососимметрическая матрица 0 такая, что *)
Я = ee, (16i)
sin |D| 1 - cos ID I
B=E+1^l '9 + ^i5LLe2- <№)
Прежде всего с помощью (15) легко проверить, что
det (ХЕ - 0) = Х3 + | D12Х.
Так как каждая матрица удовлетворяет своему характеристическому
уравнению, то
03 + | D120 = О
и
0П+3 = _|?|20n+)j п = 0,1,...
Следовательно,
02Г.+1 = (_|?]Z)T>0,
02n+2 = (_|?)|2)n02j
и, таким образом,
ев^2-= е ' 0 ^(-1)nl^l2n+1 ,
77=0
*! Plnto (2га + 1)!
, QZ (j- у (~1)"P12"\
|/>1а Ч " (2га)! Г
\Щ2 V* nt0 (2") Г Г (1?)
Так как два последних ряда представляют sin |D| и cos |D| соответственно,
то ясно, что (162) эквивалентно (161) -
Далее заметим, что если матрица 0 определяется согласно (15) при частных
значениях d\ = 0, d2 = 0, d3 = ф, то в соответствии с (17) матрица е(r)
может быть записана в виде (13]).
*) Формулу (162) можно записать в виде
1 1 fi = Е + 8 si \W [ + 2 62 si2 у | D |
где
sin'a
si a = ---.
74
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Следовательно, для любой функции Й вида (13j) существует матрица 0= -0',
удовлетворяющая соотношению (16j). Если Й - ортогональная матрица с
