Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(?)?'. Обозначая L
опять через L, получим в силу (17i) - (17г)
Ь = + \ (22)
где Ы2, И*, |z2|", f = f(x,y), U - U(х, у) должны быть выражены с помощью
соотношения х + iy = z - z(?, + iц) как функции I, Т].
§ 53. На основании изложенного в § 15 легко удостовериться в том, что
(21) и (22) образуют в соответствии с определением в §16 пару связанных
друг с другом функций Лагранжа и Гамильтона точно так же, как (18) и
(20). По существу, если учесть последнее замечание § 48, то этот факт
очевиден для любого канонического расширения координатного преобразования
и для любого п.
Если число степеней свободы п > 2, то формулы (81) представляют собой
лишь нетривиальную аналогию (14), так как известно, что, за исключением
перемещения, вращения, отражения и изменения единицы длины, инверсия v =
ql [ q |2 является единственным конформным отображением евклидова
пространства с числом измерений п > 2 (Лиувилль).
В §§ 54-56 мы приводим с целью дальнейшего использования некоторые
классические координатные преобразования v = v(q) типа z - z(?), которые
будут использованы далее. Их канонические расширения следуют из (14) или
(6).
§§ 47-56. РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 55
§ 54. Пусть №° и Е71" обозначают кривые на плоскости (г, у),
соответствующие линиям ? = ?о, т] = г|о на плоскости (?, rj), если
х = - д + ?2 - т)2, у = 2?т), (23)
где ]и - заданная постоянная (не надо смешивать ее с множителем
канонического преобразования). В соответствии с (13) можно записать
координатное преобразование (23) в виде
х + iy = z = z(?)== - д + (? -fir])2, (24)
так что
\ч\2 = Щ2 + п2)-
Таким образом, условие det / = |zt|2=^=0 в (14) удовлетворяется всюду, за
исключением точки ? = 0, которая соответствует значению z = - д и которая
является, как и точка ? = (соответствующая значению z = oo), точкой
разветвления первого порядка (т. е. такой, где соединяются два листа
римановой поверхности).
Всюду, за исключением этих двух точек разветвления, соответствие между
плоскостями (х, у) и (?, ц) типа один к двум*).
В соответствии с этим (23) показывает, что если ? =? 0, то Н", а если т]
Ф- 0, то Е11 представляют такие параболы, что № = Н-^ иЕ' = Е-Ч Эти
параболы имеют общий фокус (х, у) - (-д, 0), а их оси симметрии совпадают
с осью г, причем для первой параболы направление оси симметрии (от фокуса
к вершине) совпадает с положительным направлением оси х, а для второй
параболы - с отрицательным. Таким образом, Н° и Е° суть полупрямые
(двойные), на которые делится общим фокусом ось х. Мы получим также, что
отображение (23) - (24) удваивает углы в точке (?, ц) = (0,0), а кривые
№, Е71 пересекаются в любой точке (?, ц) Ф0 под прямым углом. Последний
факт очевиден, поскольку преобразование является конформным.
Координаты |, т|, определяемые согласно (24), представляют собой обычные
параболические координаты.
§ 55. Координатное преобразование (24), простое в локальном, может
оказаться неудобным в большом (см. § 451). Отображение, также локально
эквивалентное, но часто более удобное, чем (24), в большом, мы получим,
если подвергнем z + д и ? в (24) одному и тому же линейному
преобразованию I. При этом последнее должно быть выбрано так, чтобы точки
-д, 1 - д, оо, где д - заданное число, отображались в 0, оо, 1
соответственно. Тогда это
*) То ость одной точке на плоскости (х, у) соответствуют две точки на
Плоскости (I, т)). (Прим. перев.)
56
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
преобразование определится формулой
p+ii(l-|i)
Z =
2?- (1 - 2|а) так как именно тогда l(z) = (1(?))2, где
? + И1
(25)
С-1 + и
Согласно (25) соответствие между плоскостями (х, у) и (?, т|), где z - х
+ iy, ? = ? + irj, также типа один к двум всюду, за исключением двух
точек разветвления Pi, Р2 первого порядка. Обе эти точки соответствуют,
однако, конечным значениям z, и их образы П], П2 соответствуют конечным
?. Действительно, из (25) видно, что
Pi: (-pi, 0), Р2: (1-М); П,: (-М), П2: (1-М),
(26)
причем в точках П), П2, соответствующих точкам Pi, Р2 плоскости,
обращается в нуль производная zj, т. е. П1 и П2 суть сдвоенные точки
этого отображения типа один к двум. В соответствии с этим нет точек
разветвления на бесконечности.
Действительно, (25) показывает, что две различные точки
П0:а,Т1):
(?,т)) = оо,
(27)
соответствуют точке (х, у) = оо.
Пусть rv = rv(x, у) и Рх = Рх(?, л), где v = 1,2 и к = 1, 2 обозначают
расстояние от Pv до переменной точки Р: (х, у) и от Пх до переменной
точки П : (?, т|) в плоскостях z и ? соответственно. Тогда 7*1, г2 и р 1,
р2 играют роль биполярных координат на плоскостях z и ? соответственно,
причем Pi,P2 и П1, П2 суть полюсы. Из (26) и (27) следует, что
2
Ро
= (е + и-^
+ Л2.
pf=(?+M + Tlz, p?=a-i + ii)2+4\
(28)
причем
74 = (а:+ ц)2 + У2, (х - 1 + ц)2 + у2.
§§ 47-50. РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 57
Следовательно, в соответствии с (25)
м 2 j 2
г - 1 Pl г - 1 pz (9Q \
П = - -, 2---------, (290
2 ро 2 ро
1^1 = ^- (201)
