Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 19

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 202 >> Следующая

существования функции S - S(t,q,u), для которой справедливы условие (19)
и соотношения
St = R, Sq = р, Su = v.
Например, преобразование р = v, q - -и является каноническим с множителем
р = 1, однако функция S(t,q,u), удовлетворяющая соотношениям (20), не
существует.
Вместе с тем из изложенного в § 42 ясно, что можно начинать с выбора
функции S, содержащей вместо иi и qt любые 2п из 4п переменных Pi, q%, щ,
Щ, т. е. произвольную пару из р, q, и, о.
Например, если S = S(t, q, v), то условие (19) заменяется следующим:
deKVJ^O, (22)
где
Sqivk - Sv^q^ (txq, v), i,k - 1,..., n.
Тогда, если использовать (18г) вместо (18i), то получим, что соотношения
P - Sq(t,q,v)=0, л
и + Sv(t, q,v) = 0 /
определяют каноническое преобразование, для которого остается
справедливым (21).
В соответствии с (21) и с изложенным в § 34 эти преобразования являются
полностью каноническими тогда и только тогда, когда S не содержит t.
РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 47. Рассмотрим, как и в § 10, отображение двух re-мерных позиционных
пространств q,q = v одного в другое, так что
v=v(q,t), (1)
det J ф 0, (2)
где / = Vq = j(q,t).
Предположим, что n-вектор-функция v(q,t) принадлежит классу С(2) в (п +
1)-мерной области (q, t).
§§ 47-56. РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
49
Можно расширить различным образом координатное преобразование (1) с целью
получить преобразование вида (li) - (1г) § 39 2п-мерных фазовых
пространств (2) § 39, причем выбор функций и = и (p. q, t) практически
неограничен. Оказывается, что среди таких расширенных преобразований
всегда существуют канонические преобразования. Этот вывод может быть
извлечен, в частности, из критерия (17) § 45, который также показывает,
что каноническое дополнение и - и (р, q, t) к данному координатному
преобразованию v=v{q,t) определяется функцией v(q,t) неединственным
образом; при р. = const ф 0 на функцию R ограничения не накладываются.
§ 48. При заданном преобразовании (1) можно выбрать канонически
расширенное преобразование
u = u(p,q,t), v - v{q, t) (3)
таким образом, что р равно +1, а и является однородной и линейной
функцией р, именно
и = Г~1р (см. (2)).
Можно также выбрать
р=1, R = VfJ-lp, (4)
так что в силу (1) - (2) R = R (р, q, t).
Тогда каноническое преобразование вида (3), которое назовем каноническим
расширением данного координатного преобразования (1), определится
следующими формулами:
U = J'~lp, v = v(q,t), (5i)
J=J(q,t), J = vq, det / ф 0, (5Z;
P)q) ¦ (5a)
4 (0) / / v
Действительно, в силу (1) - (2) имеем dv - Jdq -)- vt dt.
Так как (см. § 1)
{Аа) ¦ {ВЪ) = а -А'ВЪ,
то, если и = /'_1р, имеем
u-dv = p-dq + vt-J~lp dt.
Подставляя последнюю формулу и (4) в (18г) § 45, видим, что ш_ обращается
в полный дифференциал, а именно в нуль. Следовательно, (5i) представляет
каноническое преобразование, соответствующее множителю и остаточной
функции (4). Формула (5з) вытекает сразу из (5i) - (5г), если учесть (li)
- (3) § 39.
4 А, Уинтнер
20
Г ЛАНА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
В соответствии с (5г) это каноническое расширение преобразования (1)
может быть получено, если рассматривать импульсы Р1, . ¦ рп при каждом
фиксированном t как компоненты кова-риантпою вектора в пространстве
координат q\, ..., qn.
§ 49. Предположим, в частности, что данное координатное преобразование
является консервативным, т. е. v = v(q). Тогда формулы (5i) - (5г)
сводятся к следующим:
и = Г~'р, v = v(q), (6)
где
/ = vq == J (q), det / ?= 0,
и так как щ = 0, то в соответствии с (4) р, = 1, R = 0.
Таким образом, каноническое расширение (6) консервативного координатного
преобразования является консервативным и полностью каноническим (см. §
34) *).
§ 49а. Из определении тензора очевидно, что если преобразование
пространства является инволюционным**), то таким же является
преобразование тензоров пространства. Так как (6) определяет для каждого
координатного преобразования v = v(q) импульсы, как компоненты
ковариантного вектора в позиционном пространстве, то каноническое
расширение любого инволюционного координатного преобразования v - v(q)
также является инволюционным.
§ 50. Предположим, в частности, что v = v(q) осуществляет инволюционную
операцию преобразования, обратного радиус-век-
*) Отсюда вытекает, что отображения 2.ч-мерных фазовых пространств (Р.
?). (", и) Друг в друга сохраняют объем и ориентацию (р, = +1).
Что касается производных по времени, то в ряде задач (см., например, §§
122-124а, 448--501) часто объединяют переход от позиционного пространства
q = {qi, ..., qn) к (и = щ, ..., v") с переходом от t к другой переменной
t (играющей роль времени), которая определяется из условия, что локальная
дисторсия оси времени пропорциональна локальной дисторсии позиционного
пространства:
dt dvi-dvi. . . dv
71
dt dqi-dqz . . . dqn '
откуда
t' det/ (/ - vq).
Подробно о правиле ввода переменной t см. § 18. Частный случай,
когда - = det/, является основным правилом (112) § 230, где п = 2. dt
Предыдущая << 1 .. 13 14 15 16 17 18 < 19 > 20 21 22 23 24 25 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed