Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
**) Преобразование s = f(r) называется инволюционным, если оно совпадает
со своим обращением г = /(j), так что /(/(г)) = г.
g§ 47-56. РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 51
торам, т. е. что v - q/\q\2, где |q| = Уд¦ q > 0.
Тогда, обозначая
через ачгь произведение двух компонент "-вектора г = (г,), имеем
/ = ( \v\2eih - 2vivh), (7i)
/'-1=( \q\2eih-2qiqh), (72)
/ = /', (7з)
где (е,ь) - единичная n-матрица. Действительно, частное дифференцирование
функции v = qj | q |2 показывает, что якобиева матрица J = vq равна сумме
матриц - 21 q |_4(9i9ft) + 191 "2 (е"л). Следовательно, (7i) вытекает из
формулы
1 ¦ и
vi^-T-r-^ l=i,к,
171
причем М2 = I g |-2. Формула же (72) следует из (7i)
без всяких вычислений, если учесть, что преобразование v
= q / \q\2
является инволюционным.
В соответствии с (6) и (72) каноническое расширение преобразования v = q
/ \ q |z определяется формулами
v=-^~, u = \q\2p - 2aq, (80
Iff I*
где о = p q(q ф 0).
Так как преобразование v = q/\q\2 является инволюционным, то в силу
изложенного в § 49а таким же является и расширенное преобразование (8i).
Следовательно, обращение (8i) определяется формулами
9 - т~Г5" p = \v\2-u - 2xv, (8г)
М2
гдет = u-v (и ф 0). Из (8i) -(82) видно, что
|?|2И2 = 1,
|р|2Ы2= М2М2> p-q + u-v = О,
т. е. о = -т.
(8о)
§ Si. Если число степеней свободы и = 1, то полностью каноническое
преобразование (6) можно представить формулами
я
v=\s{q)dq> " = (9)
4*
52 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
где s - s(q) 9^ О - скалярная функция. Частным случаем (9) является
преобразование
v = sq, и= -, (10)
s
где s = const 9^ 0.
Если число степеней свободы п = 2, а импульсы pi, рг, Hii "2 и координаты
gi, дг, уь иг обозначены через S, Н, X, У, и ?, т], х, у соответственно,
то полностью каноническое преобразование представится формулами
* = *(?,т))> д = д(?,т])>
_ Рц5 - УеН _ -*nS + жеН
*ЕУр - ЯцРЕ - 2т,рЕ
(11)
где знаменатель равен det /(=^0). В частности, каноническое расширение
координатного преобразования, соответствующего переходу к полярным
координатам, представится формулами
x = р cos '0, у = р sin '0, 1
X = Pcos'& - 0p-1sinO, У =:Р sinfl -f 0p_1 cos '0.J
Эти формулы мы получим из (11) после замены ?, т], S, Н на р, 0, Р, 0.
Если прибегнуть к комплексным переменным
z=x+iy, ?=?-Ить Д /13ч
Z = X + iY, Z=E + iHj 1 }
то координатное преобразование х = х(?, rj), р = р(^, rj) можно
интерпретировать как отображение z = z(?) одной комплексной плоскости на
другую.
Предположим^ что z = z(?) есть регулярная аналитическая функция*). Тогда
отображение является всюду конформным, так как в силу уравнений Коши -
Римана х\ = рл, Хт, = -ре имеем det J = |zcj2 0. Таким образом, полностью
каноническое преобразование (11) сводится в силу (13) к следующему:
* = *(?). Z = ¦|2*^. , (14)
W0I*'
где 2е = - Ф0.
*) Это условие не удовлетворяется для (12), так как х + iy = ре*в не
является аналитической функцией р + lb. Однако можно положить х + iy= -
et = р, т) = Ф и тогда применить (9) к s(q) = е(r).
47-56. РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
53
§ 52. Так как х + iy = z(% + й]), где хс = х^ == -yt, то
имеем
х2 + у2 = |z(| + й]) |2 = |z|2, (15i)
4 | zc 12 = I 22 Us + IzZ I ЛЛ (15.)
и в силу (14) и (13)
az + Hz
X2 + У2 =
*с
xY - yX = dz
YAH -lY^us N2
Наконец, так как - = = z;?', T0
x'2 + y' z = xy' - yx' =
4(1-
2
.4 12*
I'.
Эти формулы применим теперь к функции Лагранжа
(160
(16а)
(170
(17.)
L = - (х'2 + у'2) + (xy' - yx')f(x, y)+U(х, у)л (18)
и
где /, U суть заданные функции (класса С(2)) двух координат х, у. В
соответствии с изложенным в § 15 связанную с L функцию Гамильтона Н
получим, выражая в x'Lg + у Ly> - L переменные х\ у',х, у через До', Ly>,
х, у. Если обозначить далее импульсы Lx\ Lyr через X, Y, то в силу (16)
получим
X = x'-yf, Y = y' + xf, (190
x' = X + yf, y'=Y - xf, (192)
причем (192) эквивалентно (190-Так как
В = x'X + y'Y-L,
то из (18) и (192) сразу найдем, что функция Гамильтона равна
Н = 1 (X2 + У2) - (xY - yX)f(x, у) -
- U(x,y)-*(x2 + y2)\f(x,y)]2).
(20)
Введем в (20) новые координаты ?, ц и новые импульсы Н, Н с помощью (13)
- (14), причем под ? == ?(z) будем понимать локально единственное
обращение данной аналитической функции
54
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
z = z(?). Так как преобразование (14) является полностью каноническим, то
от (20) мы перейдем к функции Гамильтона К, тождественно совпадающей с
(20) в силу (14); см. § 34. Следовательно, если обозначить К опять через
Н, то из (16i) - (I62) видно, что (20) преобразовывается с помощью (14) в
функцию
(21)
где Ы2, |z2|e, |z2 | л, f = f{x,y), U = U (х, у) должны быть выражены с
помощью соотношения х + iy = z = z(g + щ) как функции g, Т].
В соответствии с изложенным в § 10 функция Лагранжа L, в которую
преобразуется L после применения координатного преобразования z - z{|),
может быть получена, если выразить /^через переменные ?, т]. Другими
словами, L = L в силу z = z(Q и дифференциального соотношения z' ¦-
