Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
z ро
§ 56. Другое координатное преобразование, аналогичное в какой-то мере
(23), однако более сложное, определяется формулами
1 1 1
х = - р + -+ -cos?ch,, I
1
У = -sin|sh,,
(30)
где ch w = cos iw, sh w ~ - i sin iw. Формула, соответствующая (24) или
(25), имеет следующий вид:
1
x + iy = z = z(?)=-jx + - {1 + cos(? + щ)} (ц = const §0).
(31)
С помощью (31) легко удостовериться в том, что
|z|2 = (-^- ц) + (-- n)ch,cos? + l-(ch2,+ cos2?), (324)
1 zc 12 = fsin-|(g + ^)cos-l(| + iri)
= ^(003 2,-003 21).^
Мы не будем рассматривать в дальнейшем точки (?, ,) = оо и (х, у) = оо.
Этим самым исключаются, в частности, логарифмические точки разветвления
на римановой поверхности обратной функции ? = ? (я) • Остальные точки
разветвления, т. е. те точки (конечные), для которых zj = -V2 sin ?,
соответствуют значениям ? = О, ± я, ± 2я, ... и имеют первый порядок, так
как для них zjj =-'/г cos ? 0 при тех же ?. Пусть S обозначает
плоскость (х, у), а А: = 0, ±1, ±2, . .полосу 2&я г?С ? г?С ^ (2к + 1)я,
параллельную оси , на плоскости (?,,). Пусть также Р\,Р% и П]*, Пг* суть
пары различных точек (х, у) = =7 (-0), (х, у) = (1 - р. 0) и (?, ,) =
(2я/с + 72, 0),
(ё, л) = (2я/с, 0) на S и 2* соответственно (точки Pi, Рг - те же, что и
в § 55). Согласно (31) соответствие между S и 2й
58
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
принадлежит типу один к двум при любом фиксированном к всюду, за
исключением точек разветвления Ри Р2 и их образов Пь Щ. При этом точка
ПлЛ е отображается при любом к и при v = 1, 2 в единственную точку Pv на
S.
Для того чтобы описать, как это было сделано в § 54, кривые const, т] =
const на плоскости (х,у), удобно заменить преобразование (31) S и Zh,
принадлежащее почти всюду к типу один к двум, другим преобразованием,
принадлежащим почти всюду к типу один к четырем. Для этого заменим х, у
биполярными координатами г\,г2 с полюсами в точках Р\,Р2, т. е. положим
(как и в § 55)
В этом случае rj + г2 ^ 1, причем ri + г2 = 1 тогда и только тогда, когда
точка (х, у) лежит на оси х между полюсами Р1, Р2. В то же время гч = 0
тогда и только тогда, когда точка (х, у) совпадает с Pv, v = 1, 2. Если
исключить эти точки оси х и только эти точки, то соответствие между (ri,
г2) и (х, у) будет типа один к двум, так как точки (х, у), (х, -у) и
только они имеют одни и те же биполярные координаты (п, г2). Таким
образом, учитывая, что соответствие (31) между S и почти всюду типа один
к двум, можем заключить, что соответствие между (ri, г2) и точками (g,
т]) любой фиксированной полосы почти всюду типа один к четырем. Таким
образом, удобнее считать, что полоса состоит из четырех конгруэнтных
полуполос. Квадратные корни (33) могут быть с помощью координат |, т]
униформизированы *). Действительно,
*) Это справедливо для координат ?, т|, определяемых согласно (31), но не
для координат, определяемых в соответствии с (24) или (25). Что касается
(25), то см. (29t) и (28).
Следует упомянуть, что (34) позволяет выразить х'г + уп через г,', г,'.
Прежде всего из (322) и (34) видно, что |z;.|z = titz и, следовательно, в
си-
П = | (я+ р)2 + У2\'/г ^ О, г2 = [ (х - 1 + Ц)2 + У21Va ^ 0.
}
(33)
Л + Г2 = ch Т], rx - r2 = cos I,
(34)
(А)
§§ 47-56. РАСШИРЕНИЕ КООРДИНАТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 59
так что Г1, г2 суть целые функции от ?, т]. Для этого заметим, что
согласно (31)
1
(z + ц)± iy = cos2 - (?± t'T]),
1
(х - 1 + р.) ± iy = - sin2-(?± iti).
Следовательно, (33) можно переписать в виде
1 1
ri = cos- (? + ir])cos - (I - iri),
1 1
r2 = sin - (^ + ?т]) sin-(| - ir]),
что и доказывает (34).
Так как все полосы эквивалентны одна другой, то достаточно рассмотреть
полосу 2°, т. е. область 0 ^ ? < 2я, -оо < < ц < +оо на плоскости (?, ц).
Пусть через HEi и Е11" обозначаются для заданной точки (Ео, Цо) кривые,
соответствующие согласно (34) и (33) линии -оо <'п<+оо1 и сегменту
О <1 | < 2я, ц = ц0 соответственно. Кривые № и Е11 будут определены тогда
при 0 ? < 2л, -оо < ц < +оо. Так как Г;, г2
суть биполярные координаты на плоскости (л, у) с полюсами в Pi = (-ц, 0)
и Рг = (1 -д, 0), то из (34) видно, что если ц имеет фиксированное,
отличное от нуля значение, то Е*1 представляет собой эллипс с
фокусами в Pi и Р2. Так как ch ц является
монотонно возрастающей функцией | т] | и стремится при ц
± 0
и т)->- + оо к -(-1 и +°° соответственно, то из (34) также видно, что
совокупность всех эллипсов оо < ц < + оо) покрывает
плоскость (х, у) дважды, если пренебречь линией Е° между Pi и Р2,
соединяющей два семейства Е*1 и Е-т>, т] > 0 с Еч = Е-1'. (Однако Е11 и
Е-Т1 обладают в соответствии с их параметрическим представлением (30)
через 1 различной ориентацией.) Аналогичным образом и также на основании
(34) можно сделать вывод, что если только ? ф ? ф 3/гЯ, то кривая №
представляет собой ветвь гиперболы с фокусами Pi, Р2, а вся совокупность
ветвей гиперболы № (0 ^ | < 2л) покрывает плоскость (х, у) дважды, если
не учитывать Н1/зЛ и Н3/гЛ (линии, соединяющие два
