Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
где
?1 1 Cj ± г2
fl J " 2 *
причем через г0 обозначается фиксированное расстояние между полосами Pi,
Рг, равное в рассматриваемом случае единице.
00
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
семейства гиперболы или, точнее говоря, четыре семейства ветвей
гипербол).
Таким образом, рассмотренное отображение определяет на плоскости (х, у)
так называемые эллиптические координаты, причем координатная сетка
составлена из софокусных эллипсов и гипербол. Параболические координаты
(см. § 54) можно рассматривать как предельный случай*).
КАНОНИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
§ 57. Ниже мы будем считать, что m-матрица составлена из т? постоянных.
" Д1
Если А - некоторая m-матрица, то матричный ряд 2 -"г"
z=o
где Л° = (ей'), сходится и определяет /re-матрицу, которую будем
обозначать через еА или ехр Л. Очевидно, что ехр (/4') = = (ехр А)', а
если Т - неособенная матрица, то
ехр{ТАТ~')=Т(ехрА)Т-1.
Кроме того, еА+в = еА ев каждый раз, когда АВ = ВА. Полагая В = -А,
получим, что (еА)-1 = е_А существует при любой А.
Выбирая Т таким образом, что ТАТ~Х имеет нормальную жор-данову форму,
можно сделать вывод, что если а - характеристическое число для А, то е" -
характеристическое число для еА, имеющее ту же кратность, что и а.
Если не утверждается противное, то все матрицы будем предполагать
вещественными. Конечно, при рассмотрении матриц в жордановой форме и
наличии комплексных характеристических чисел ограничиться вещественной
областью уже нельзя.
§ 58. В вещественной области свойства симметрии, кососимметрии и
ортогональности определяются соотношениями Л' = А, Л' = = -Л и Л' = Л-1,
где Л' - (flj), если Л = (а?). Эти свойства инвариантны по отношению к
ортогональным преобразованиям Л и из них вытекает соответственно, что все
характеристические числа матрицы Л вещественны, чисто мнимы (включая 0)
или равны по абсолютной величине 1. Если Л' = Л и если все характе-
*) К такому выводу придем также, если запишем ch z в виде ih{Z + + Z-1),
где Z = ег. Действительно, тогда точки разветвления для функции,
получаемой при инверсии рациональной функции lU(Z + Z-1), суть +1 и -1.
Если их обозначить через а и Ь и положить а = 0, b = оо, то мы пришли бы
к функции Z2, определяющей параболические координаты.
§§ 57-64. КАНОНИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
61
ристические числа матрицы А положительны (следовательно, det А > 0), то А
называют положительно определенной матрицей. Понятия "не отрицательная
определенная" и "положительная полуопределенная" отнесем к матрице А =
А'', для которой характеристические числа все не отрицательны или все не
отрицательны, но не все положительны соответственно. Матрица А будет
положительно определенной тогда и только тогда, когда существует
неособенная матрица В такая, что А - ВВ'', причем det.B = 0 в случае
полуопределенной матрицы А. Если А' = А*1 (следовательно, det .<4 = ±1),
то А называется матрицей вращения (det .А = 1) или отражения (det А = -
1).
Нормальную форму произвольной вещественной матрицы М получим
ортогональным преобразованием, основываясь на том, что если т > 2, то
существует матрица вращения R такая, что, полагая (RMR-1) = (с/,'), имеем
сь1 = 0, с^2 = 0 при всех к > 2.
§ 59. Для каждой неособенной m-матрицы А существует только одна
положительно определенная матрица Р и только одна ортогональная матрица О
такие, что А = РО (при этом det Р > 0, a det О = ±1 и имеет тот же знак,
что и det Л) *).
Так как АА' - положительно определенная матрица (§ 58), то существование
и единственность такого "полярного разложения" А = РО вытекают сразу, как
только будет показано, что для любой заданной положительно определенной
матрицы Q существует только одна положительно определенная матрица Р
такая, что Р2 = Q. Действительно, если ЛЛ' = Р2, причем Р = Ру, то
матрица О, определенная как произведение О = Р~1 Л, является такой, что
ОО' = (еь1), и наоборот. Однако ортогональное преобразование произвольной
неотрицательно определенной матрицы Q к диагональному виду показывает,
что независимо от того, имеет или не имеет Q кратные характеристические
числа, существует только одна неотрицательно определенная матрица Р
такая, что Р2 - Q. Так как Р, а вместе с тем и Р2 являются положительно
определенными или полуопределенными, то доказательство можно считать
полным (можно упомянуть, что если Л = О, то существует только одна
положительно полуопределенная матри-
*) Если т = 3, то единственный выбор Р и О для любой неособенной матрицы
А хорошо известен в кинематике континуумов, где показывается, что каждая
линейная деформация А с положительным определителем может быть разложена
единственным образом на вращение О и на расширение Р вдоль трех взаимно
перпендикулярных осей. Аналогичным образом, если т = 4, то имеется
теорема, согласно которой преобразование Лоренца с положительным
определителем разлагается на два - трехмерные евклидовы вращения и
положительно определенное бинарное преобразование Лоренца.
62
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
