Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
не является каноническим преобразованием, так как якобиан (8) равен тогда
р ф const.
*) Если сохраняется только площадь, го якобиан (9), т. е. множитель р,
равен -1.
§5 39-46. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПФАФФИАНЫ
43
§ 42. В дальнейшем будем опять считать, что число га компонентов каждого
из векторов р= (р,), q = (qi) в (2) произвольно.
Если п= 1, то каждое из преобразований и = ±q, v = является на основании
§ 41 полностью каноническим. В силу изложенного в § 33 такой вывод
справедлив и для любого га.
Если щ,...,ип есть любая перестановка из pi,, pn, a v\,... . ¦ ¦, vn -
любая перестановка из qi,..., qn, то преобразование и = р, v = q является
полностью каноническим. Это видно из § 33 (к такому выводу придем, если
выберем га-матрицу Р в (15i) § 38 так, чтобы каждая из ее строк содержала
в качестве элемента 1).
§ 42а. Операция добавления к р;, q, произвольных постоянных также
представляет собой каноническое преобразование с множителем ц = 1, так
как матрица Г = ух является тогда единичной.
§ 43. Если соотношения между t и парой 2га-векторов х = (xj), У - (Уз) не
заданы, то
со = 2Rdt -f- рх • Idx -f- yldy [см. (4)} (11)
представляет при произвольно заданных скалярных функциях R, р, переменных
t, х, у скалярный пфаффиан с (4га +1) независимыми переменными.
Предположим, что при любом фиксированном t задано соотношение между хтлу
вида
P(t;x,y)= 0, (12)
где F = (Fj) есть 2га-вектор, а компоненты Fj при любом фиксированном t
независимы в указанном в § 18 смысле. Тогда пфаффиан с (4га + 1)
переменными становится в силу (12) пфаффиа-ном с (2га + 1) переменными.
Будем предполагать, что Ft(t; х, t) принадлежит классу CW в (4га + 1)-
мерной области. Тогда (12) при любом фиксированном t неявно определяет
локально топологическое отображение 2га-мерных фазовых пространств х и у
одного на другое. При этом отображающие функции и их частные производные
по t принадлежат классу CW в соответствующих (2га + 1)-мерных областях.
Ниже будет показано, что отображение, неявно определяемое
(12), является каноническим тогда и только тогда, когда существует
постоянная ц#0 и скалярная функция R такая, что пфаффиан с 2га-f- 1
переменными, к которому сводится пфаффиан (11) с 4га -f- 1 переменными,
есть полный дифференциал *).
*) Это характерное свойство канонических преобразований эквивалентно
определению Ли контактного преобразования при условии, что t
рассматривается как дополнительная координата, которая может быть
подвергнута преобразованию так же, как и остальные 2п координат фазового
пространства (см., например, § 9а) .
44
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Заметим, что это свойство пфаффиана инвариантно. Действительно, оно
характеризуется симметричностью якобиевой матрицы для вектор-функции,
определяемой ковариантными коэффициентами пфаффиана, т. е. тождественным
обращением в нуль ротора для этой функции (см. начало § 3).
Таким образом, сказанное следует из того факта, что ротор есть тензор *).
В силу упомянутой только что инвариантности достаточно рассматривать (11)
в предположении, что соотношение (12) дает нам функцию у = у (х, t) в
явном виде.
При вычислениях будем использовать всегда тот факт, что а - СЪ = Ъ ¦ С'а
в соответствии с § 1 и что I' = - I = I-1.
§ 44. Прежде всего из (15з) § 17 видно, что независимо от того, является
или не является преобразование у = y{x,t), неявно определяемое с помощью
(12), каноническим, пфаффиан (11) с (4ге + 1) переменными можно
представить в силу (12) в виде
a = Tdt + X-dx, (13)
причем
T = 2R-ylyt, (14,)
Х=-рЬ + Г'П/, (14*)
где R(t,x,y), р = р (?, х, у) суть скалярные функции, входящие в (11), а
точка обозначает скалярное умножение X на йх. Предполагается, что скаляр
Г, определяемый согласно (14,), и 2ге-век-тор (ковариантный) X,
определяемый согласно (142), выражены посредством у = у (х, t) как
функции (х, t). Таким образом, формула (13) есть пфаффиан с 2п + 1
независимыми переменными
Х\ , . . . , Х2п,
В силу изложенного в начале § 3 пфаффиан (13) является полным
дифференциалом тогда и только тогда, когда якобиева матрица по t и а: для
(2п + 1) -вектора, образованного скаляром Т и 2п компонентами функции X,
является- симметрической при любых х, I. Так как условие симметричности
выражается следующими двумя условиями:
Xt = Тх, (15,)
Хх = Хх\ (152)
то критерий, приведенный в § 43, будет доказан, если удастся показать,
что оба условия (15,) и (152), вместе взятые,
эквива-
*) Мы не в праве сказать, что этот элементарный факт соответствует
условию представимости ротора в виде разности двух ковариантпых
производных, так как такое условие предполагает привлечение
дифференциальной геометрии. Однако в любом случае можно проверить его
непосредственно.
§§ 39-46. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПФАФФИАНЫ 45
лентны условию (3) § 27, где р = const. Следовательно, если учесть
изложенное в §§ 28, 30, то достаточно доказать, что
(i) если в (11) р = р(2), то векторное соотношение (15i) эквивалентно
