Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
определителем, равным +1, не представимая в частном виде (13i), то в силу
последнего замечания в § 58 существует ортогональная матрица Р такая, что
произведение РЙР-1 приводится к (130. Однако в силу изложенного в § 57
имеем
exp (P0P-1) = РееР-1,
причем матрица P0P-1 является кососимметрической всякий раз, когда Р -
ортогональная и 0 - кососимметрическая матрица. Следовательно, для каждой
ортогональной матрицы Й с определителем, равным +1, существует
кососимметрическая матрица 0, удовлетворяющая соотношению (16i).
Справедливость обратного утверждения была уже отмечена в конце § 67.
§ 77. Пусть через h (i = 1, 2, 3) обозначены матрицы, полученные по
формуле (15) при dk = 1 (к - i), dk = 0 (к ф i). Тогда произвольные
матрицы 0 и Й могут быть записаны с учетом (16*) в виде
0 = с?*I* -f- di 1г -f- dgj.3, {18i)
Й = exp (dili -|- dili -f- йз1з). (18г)
e'tl1 = I
соответствии с (15) и (17) имеем
0 ° \ ( COS ф 0 sin ф
COS ф - - sftl ф j , еф1' = 0 1 0
sin ф COS ф/ \ ,- sin ф 0 COS ф.
/cos ф - sin ф °\
?Ч>Ц = I sin ф COS ф ° ,
V о 0 1/
(19)
то ортогональная матрица еф1> осуществляет поворот декартовой системы
координат вокруг координатной оси i на угол Ф {i = = 1, 3) или -Ф (i -
2).
§ 78. Из изложенного в § 57 видно, что формула
й = е#,1,еЙ21!е#з13
(20)
при Н,- = di (i= 1,2,3) не эквивалентна (I82). Однако справедлив тот
факт, что 3-матрица й является ортогональной с определителем + 1 тогда и
только тогда, когда эта матрица может быть представлена с помощью трех
чисел Hi, Hz, Нз в виде (20). Фактически выражение (20) не отличается
существенно от обычного
§§ 65-78. ВРАЩЕНИЯ
75
представления (21) матрицы ?2 (в несимметричной форме), приведенного
ниже.
Из рис. 1 видно, что от одного какого-либо положения S : (?, ц, ?)
декартового трехгранника можно прийти к другому Л': (х, у, z) с помощью
поворота трехгранника на соответствующие углы сначала вокруг оси ?, затем
вокруг оси ? в ее новом положении и, наконец, вокруг оси ? в ее новом
положении. То же са- ,
мое можно сказать о переходе от %¦ ". z
X : (х, у, г) к S : (?, г\, С). Если учесть (19), то можно заключить, что
3-матрица ?2 ортогональна и det ?2 = 4-1 тогда и только тогда, когда она
может быть представлена с помощью трех "эйлеровых углов" I, v, со как
произведение
(21)
Рис. 1.
Так как (е8)-1 = е-8 (см. § 57), то из (15), (16) видно, что при переходе
от ?2 к ?2-1 меняются знаки величины di. Вместе с тем А-1В-!Г-1 = (АВГ)-
1. Следовательно, учитывая (21), получим, что
?2' = ?2-':{i, - ш, - v}, (22)
если ?2: (i, v, ш). В силу (19) произведение evlaell' равно
f cos v ¦- cos i sin v sin i sin v>
evl, gil, _ | sin v cos I cos V - sin I cos V
0 sin t cos i
(23)
Умножая (23) справа на матрицу еш1, получим, учитывая (19), следующее
явное выражение для матрицы (21) :
г cos v cos ш -
- sin v sin ш cos i
- cos v sin <o -
- sin v cos <o ctjs i
fi = | sin v cos ш - sin v sin ы -j-
cos v sin со cos i cos v cos o> sin i
sin v sin i
cos v Sill i
(24)
Sin 0) Sin I
cos 0) sin I
cos I
Очевидно, что (24) эквивалентно основной формуле сферической
тригонометрии. Элементы этой матрицы представляют собой . не что иное,
как девять направляющих косинусов (см. рис. 1).
ГЛАВА II
ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Локальные понятия §§ 79- 90
Гамильтоновы и лагранжевы системы §§ 91-102
Решевия и канонические преобразования §§ 103-418
Нелокальные понятия §§ 119-130
Точки устойчивости §§ 131-136
Характеристические показатели §§ 137-154
ЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 79. В последующем будем обозначать через X заданную область изменения
то-вектора х = (х,) в евклидовом пространстве, а через /(х) - заданную
то-вектор-функцию /= (/"), принадлежащую в X некоторому классу CM, v ^ 1.
Обозначим через |у| длину (евклидову) то-вектора у. Тогда для каждой
точки х° области X найдется, очевидно, положительное число а= а(х°), не
превосходящее b/В, где b = Ь(х°) -
столь малое положительное число, что окрестность | х - х° | < b точки х°
содержится в X, а |/(х) | обладает при \х - х°| < Ъ конечной верхней
границей В -В(х°, Ь(х0)) = В(х°). Так же очевидно, что число а (>0) может
быть выбрано независимым от х°, если х° принадлежит некоторой замкнутой и
ограниченной *) подобласти в X.
Известно, что система то обыкновенных дифференциальных уравнений,
написанная в виде
*' = /(*), (1)
обладает одним и только одним решением х = x(t) **), которое в
произвольно задапный момент t = t° достигает произвольно заданной точки
х° области X. Это решение х = x(t) системы (1) существует, по крайней
мере, при t° - а < t < t° + а, где а = = а(х°) = b/В. Наконец, |x(f) -
х°| < Ъ при |f - ?°| < а.
Если обозначить через А дифференциальный оператор
д т д
л==^7+ S/i(zi. •¦•.Zm) -- (2а)
ot
*) При этом подразумевается компактность этой подооласти а, т. е.
применимость в ней теоремы покрытия Гейне - Бореля.
**) Заметим, что этому решению соответствует некоторая траектория в
области изменения х, допускающая единственное параметрическое
