Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 18

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 202 >> Следующая

условию существования функции R, удовлетворяющей тождеству (6) § 27;
(ii) если в (11) р не зависит от t, то матричное соотношение
(152) эквивалентно условию (3) § 27, т. е. условию
Г'1Г = р1 (ом. § 31а).
§ 44а. Прежде всего градиент (ylyt)x от y-Iyt = -У^У, очевидно, равен
(yxY'\yt - (yt)Wy¦
Но (yt)x = (Ух) t, и так как ух = Г в силу (3), то из (14i) следует, что
Tx = 2Rx-T'Iyt + T\Iy,
где в силу (12) § 17 Rx = T'Ry. Так как х и t образуют (2п + 1)-мерную
область независимых переменных, то производная xt (ф х') тождественно
равна нулю. Следовательно, из (142) ясно, что если pt = 0, т. е. если р =
р(х), то (15,) эквивалентно соотношению
(Г1у), = гт
или (если использовать приведенное выше выражение для Тх} (Г'1у), = 2Г'Д"
- T'lyt + Т\1у.
Так как
(T'Iy)t = Г\1у + T'lyt, то последнее соотношение эквивалентно следующему:
2Г'1у" = 2ГХД"
или
I yt = Rv,
что и доказывает (г) § 44.
Заметим далее, что если р* = 0, т. е. если р = р (t), то в силу
(14.)
Хх = - pi + (Г Iy)*, и так как I' = - I, то (152) эквивалентно тогда
соотношению
^{(Г1у)х-(Г1у)\} = р1.
Но Г определяется как якобиева матрица ух точечного преобразования у =
у(х, t) при фиксированном t, тогда как 2и-матрица
46
глава i. динамические операции
{ }, входящая в приведенную только что формулу, представляет при условии
выполнения (15z) ротор 2л-вектор-функции Г'1у от 2п-вектора х при
фиксированном t. Так как ротор преобразовывается при точечном
преобразовании так же, как и тензор (§ 43), то можно считать
доказательство условия (гг) § 44 законченным.
Этим самым доказано утверждение о свойстве пфаффиана, высказанное в § 43.
§ 45. Используя обозначения (2) § 39, можно записать (12) в виде
Pi(t,p,q,u,v) = Ot / = 1, - - . ,2га, (16)
а если через а ¦ db обозначить
П
У О-i dbi,
i=1
то (11) примет вид
11 1
- to = R dt + -\i(p-dq - q-dp) - --(u,-dv - и-da) (см. (4)).
a z z
(17)
Следовательно, в силу критерия, указанного в § 43, преобразование (li) -
(lz), неявно определяемое соотношением (16), является каноническим тогда
и только тогда, когда существует функция R = R(t, р, q, и, и) и
постоянная р(=^= 0) такие, что пфаффиан (17) представляет
собой с учетом (16) полный дифференциал.
Этот критерий остается без изменений, если добавить к пфаф-фиану (17)
полный дифференциал
df - ftdt + fpdp + fq-dq + fu-du + fv-dv любой скалярной функции / - f(t,
p, q, u, v). Полагая, в частности,
1 1 /= у
где p. = const, видим, что критерий остается справедливым, если (17)
заменить любым из пфаффианов со+, (c)-, определяемых формулами
(0+ = Rdt + рр ¦ dq + v ¦ du, (18i)
(0_ = Rdt + pp ¦ dq - и • dv. (18z)
§ 45a. Так как критерии канонического преобразования, указанные в §§ 27,
28, 36, 45, все эквивалентны друг другу, то при рассмотрении той или иной
задачи может лишь возникать вопрос, какой из этих критериев наиболее
удобен. Критерий, основанный
§5 39-46. НОНОНИЧЙСКИЕ ПГЙОЁРАЗОВАНИЯ И ПФАФФИАНЫ
47
на анализе пфаффиана, приспособлен, конечно, для тех случаев, когда
преобразование определяется неявным образом при помощи 2п независимых
соотношений (16), связывающих 4n + 1 переменных t, р^, q,, u,-, V{.
§ 46. Пусть S - S(t, q, и) - некоторая скалярная функция класса С(2) в
(2п + 1)-мерной области (t,q,u). Предположим, что "-строчная матрица
("полярный гессиат (Sq) и) является неособенной, т. е. что
det (5,^)# О, (19)
Sq.uh= S^q^t, q, и), i,k = \,...,n.
Тогда пара и-векторных уравнений
P~Sq(t,q, u)=0, \ v - Su(t, q, и)= 0 /
определяет каноническое преобразование (li) - (1г). При этом
ц = 1, R=SU (21)
так что в силу (6)
K = H + St.
Чтобы это доказать, отождествим (16) с (20), т. е. положим
Fi - - fi Sq, F- l>i Su x
где i - 1,..., n, S - S(t, q,u). Отсюда следует, что якобиан функций F^
..., Fn, Fn+1,..., Fin по отношению к переменным Fu ¦ ¦ •, Pn, Qu ¦ ¦ ¦,
qn сводится к "-строчному якобиану
(-l)"det(5,lUfc),
а в силу (19) он отличен от нуля. Следовательно, если учесть
соответствующее замечание, сделанное в § 43, то становится ясным, что
(20) определяет неявным образом преобразование (li) - (I2). Это
преобразование является каноническим и его остаточная функция и множитель
суть S; и 1 соответственно, поскольку пфаффиан (18i) представляет собой в
силу (20) полный дифференциал dS(t, q, и), если положить R = St, р, = 1.
Следует, однако, предостеречь от того ошибочного утверждения *), что для
каждого канонического преобразования с множи-
*) Эта ошибка допускается, в частности, в тех руководствах по квантовой
теории, которые претендуют на упрощение теории канонических
преобразований.
48
ГЛАГ.А I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
телем р = 1 существует функция S - S (t, q, и), с помощью которой это
преобразование представимо в виде (20). В самом деле, из § 45 следует,
что преобразование, определенное неявным образом, является каноническим с
множителем р, = 1 тогда и только тогда, когда пфаффиан
Rdt -f- p-dq + v -da
есть полный дифференциал. Однако отсюда еще не вытекает факт
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed