Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
ца Р, но более одной ортогональной матрицы О такой, что А = РО).
Разложение А = РО эквивалентно разложению А = ОР, где О = О, Р = 0~ХР0.
Очевидно, что Р = Р и О = О тогда и только тогда, когда А А'' = А'А.
§ 60. Пусть С - постоянная 2/г-матрица (т = 2п). Назовем ее канонической
матрицей, если линейное консервативное преобразование у = Сх является
каноническим в смысле определения, данного в § 27. Поскольку якобиева
матрица ух равна в данном случае С, то из § 27 вытекает, что С является
канонической матрицей тогда и только тогда, когда существует скалярный
множитель ц ф 0 такой, что
CIC' = |*1, (10
где
1==/ (0) (в*) \ = _ р = _ j_, (1)
v-Ю (0) )
В силу изложенного в §§ 31, 32 отсюда следует, что
detC = цп (ф 0), (2i)
C'lC = |*I, (2z)
С-ЧС-14 = р-Н, (2з)
так что матрицы С' и С~1 будут также каноническими. В
соответствии с § 34 назовем матрицу С полностью
канонической, если со-
отношение (li) справедливо при ц = 1 (тогда в силу (2i) имеем detC = 1).
В частности, полностью канонической является матрица I, определенная
согласно (1г).
Если написать (2з). в виде
цС-1 =
то можно заключить, что если а есть характеристическое число полностью
канонической матрицы С, то а-1 является также ее характеристическим
числом, причем а и а-1 имеет одну и ту же кратность и даже соответствуют
инвариантным множителям одной и той же степени. Правда, случай, когда а =
а-1, т. е. а = = ± 1, требует особого рассмотрения. Таким образом, можно
с уверенностью утверждать лишь то, что все инвариантные множители
полностью канонической матрицы С при а Ф ± 1 распадаются на пары (а, а-
1). То же самое относится, конечно, и к парам (а, а), если а Ф а, т. е.
если матрица (вещественная) С име-
§§ 57-64. КАНОНИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ
63
ет комплексное характеристическое число а, то она имеет также и
комплексно сопряженное характеристическое число а.
Согласно § 31 канонические матрицы С образуют группу, а их множители р
являются мультипликаторами для операции умножения элементов группы.
§ 60а. Для любой симметрической 2ге-матрицы Я матрица ехр (Ш) является
полностью канонической. Действительно, если I = 0, 1, 2 и Я' = Я, то из
(12) следует, что
[(1Я)г]' = (- Я1)г
и
[(Ш)Т - 1(- 1Я)*!-1 = Ц(- 1Я) I-ip.
В силу § 57 отсюда вытекает, что
[ехр(1Я)]' = 1[ехр(- 1Я)]1-*.
Поскольку ехр(-А) = ехр(^4)-1, то, очевидно, что соотношение (23)
удовлетворяется при С = ехр(1Я), р = 1.
§ 61. Покажем, что если соотношение С = РО есть единственное полярное
разложение канонической матрицы С с множителем р (см. § 59), то
010' = sgn p-I, jPLP' = | р | -1, (3)
где sgn р = р / | р |. Другими словами, матрицы Я и О являются также
каноническими и соответствуют*) множителям |р| и sgn р.
Для доказательства выразим посредством Р, О, р четыре неособенные матрицы
01, 02; Ру, Рг, полагая
Ot = I, Ог = sgnp-OIO-1, | (4)
Pi = p, я* = |р|-оар-*о-".;
Так как Г = I-1 согласно (12) и О' = О-1 по предположению,
а
матрица Р и, следовательно, и Р~1 положительно определенны, то
матрицы Оу и 02 являются ортогональными, а Р\ и Я2 положительно
определенными. Вместе с тем, подставляя С = РО в (22), получим
соотношение
0~1Р1Р0 = pi,
которое с учетом определений (4) и (22) перепишется в виде РхОу - Р2О2.
Поэтому из единственности полярного разложения (см. § 59) неособенной
матрицы РуОу = Рг02 следует, что Оi = Ог
*) Положив С = Р, придем к выводу, что любая положительно определенная
каноническая матрица имеет положительный множитель.
64
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
и Pi = Р2. Кроме того, из (4) и (1г) видно, что данные матрицы
удовлетворяют соотношениям (3).
Полученный результат может трактоваться как взаимно однозначная
параметризация С = РО группы всех канонических матриц С с помощью пар Р,
О канонических положительно определенных и канонических ортогональных 2л-
матриц. Ясно, что такие матрицы О (но не Р) образуют группу.
Подставляя в (1) вместо С произвольную ортогональную 2п-матрицу О = О-1'
и используя (1г), можно легко проверить, что эта матрица является
канонической тогда и только тогда, когда
где (ал*), (bh*)-произвольные л-матрицы, подчиненные только условию det О
- ±1.
§ 62. Теперь можно легко доказать утверждение, высказанное в § 32. Оно
заключается в том, что соотношение | det С \ = | р |", вытекающее с
очевидностью из (К), всегда можно заменить соотношением (2i).
Это утверждение достаточно доказать для всех канонических 2л-матриц С,
множитель которых положителен. Такая возможность следует из (9i) - (9г) §
31, если умножить данную каноническую 2л-матрицу С с отрицательным
множителем на матрицу
Действительно, легко удостовериться, что G является канонической 2л-
матрицей с множителем - 1 и определителем (- 1)п.
Поэтому достаточно доказать (2i) для любой канонической матрицы С с
положительным множителем. Из изложенного в § 61 далее следует, что
достаточно доказать (2i) для каждой положительно определенной матрицы С =
Р и каждой ортогональной матрицы С = О с множителем + 1. Однако
