Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
независимость р от t, т. е. выполнения условий интегрируемости (8)
системы (6). Из изложенного в §§ 28, 30 следует, что преобразование х =
х(у, t) лишь тогда удовлетворяет условию (3) при любых у и любом t и
является, следовательно, каноническим, если оно удовлетворяет
(Z) условию (3) при любом у и фиксированном t = t0 и
(ii) условию (6) при любых у и t.
§ 37. Рассмотрим, наконец, подгруппу тех канонических преобразований,
которые являются линейными и однородными относительно 2п координат
фазового пространства, т. е. для которых у - Гг, причем Г = Г (i) -
заданная в некотором i-интервале неособенная 2/г-матрица. Для этой
подгруппы соотношения (3) и (6) сводятся к следующим:
Г1Г' = ц1, r = r(i), ц= const =7^=0, (14i)
Л = 1у1ГТ-^. (14,)
Действительно, якобиева матрица
Ух = Г = Г (у, t),
составленная для у = T(i)z, равна T(i). Следовательно,
и
yt - Т'х,
где х = Г-1у. Остаточная функция R = R(y, t) представляет собой в силу
(6) квадратичную форму относительно 2п компонентов у, вектора у (матрица
формы (142) является функцией одного
*) Как следствие, инволюционная пара функций (§ 23) является канонически
инвариантной.
40 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
лишь f, и если условие (14i) для канонического преобразования у - Г(?):с
удовлетворено, то эта матрица будет в силу (8) симметрической).
§ 38. Пусть, например, 2и-матрица Г(?) имеет вид
/ Р (0)\
Г(1> " ((0) V)' <,5'>
где Р = P(t) - ортогональная п-матрица, так что Р' = Р~1 и Г1Г' = 1.
Условие (14]) будет удовлетворено при р = 1, а условие (14г) примет вид
2R(y,t) = u-P'P'v-vP'P'u (Р = Р'-*), (15,)
если через и = (щ), v= (щ) обозначить н-векторы, определенные в
соответствии с (10) § 17.
Например, если и- четное и P(t) есть и-матрица вида (состоящая из п/2
строк и столбцов)
/Ф 0 ... 0
>чп 0
\о ... о Ф
где Ф есть ортогональная 2-матрица
фт_/С08ф^ -sin ф(")\
\siii ф(0 cos ф(0/
то, полагая в (15г)
= Sft, U2k ~ Hft, Vih-l = ift, Vik = T]A,
получим
n/Z
B(y, t)= ф'(0 2 {IkHh - TjftHj,). (16)
ft=i
Если Г (l) есть 2-матрица, так что п = 1 и
г(,)=(ад ад)' (17'"
то условие det Г (t) = р = const 0 эквивалентно (14i), а формула (14г)
при условии, что
'-(У-О
§§ 39-4В. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПФАФФИАНЫ
41
сводится к следующей:
2piZ = DCdU2 + (Dbc - Dad) u-v -f- DabV2, (17г)
1'Де
Dfg = f'g - g'f.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ПФАФФИАНЫ
§ 39. Если произвольное преобразование у = y(x,t), х - х{у, I) пары 2н-
векторов х = (Xj), у = (у^) в фазовом пространстве выражается с помощью
четырех векторов
Р- (Pi), Ч~ (?.)> " = (">). v= (У|).
представляющих импульсы ри Щ и координаты Qi, то можно написать следующие
формулы:
и = и(р, q\ t), v = v{p, q\ t),
} (Ь)
p(u, v\ t), \ q = q(u, v; t), J 2
I = (2) r(u,v;t) = yx= ( Up "*), (3)
\ Vp L\ J
1 =( ^ (eft) ^ - I' = - 1-1 (4)
l-(Ci) (0) 7 (4j
Пусть преобразование фазового пространства (li) принадлежит классу С(1) и
является таким, что обе "-вектор-функции щ, vt принадлежат классу в
рассматриваемой (2" + 1)-мерной области. В этом случае пз условия (3) §
27 вытекает, что преобразование (11) - (1г) будет каноническим тогда и
только тогда, когда три "-векторных соотношения
UpUq = llqllp , VqVp = VpVq Л
UpVq' - UqVp' = р(бЛ*), J
где p = const ф 0, суть тождества по (и, v, t) в силу (1г). Первые два из
этих условий выражают требование, чтобы произведения UpUqs и VqVp'
представили симметрические матрицы. Заметим, что якобиевы "-матрицы, из
которых составлена якобиева 2"-матрица (3), могут иметь определители,
равные нулю, если даже det Г ф 0.
42
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Если условие (5) удовлетворяется, то в силу (5) и (6) § 27 получим
K=\iH + R, (6)
vt = Rn{u, v\ t), -Ut - Rv{u, v\ t), (7)
где ut, vt получаются дифференцированием (li) no t при фиксированных p, q
и замены p, q через и, v, t с помощью (la); см. (130 § IV-
§ 40. Назовем преобразование (li) - (I2) бинарным, если число степеней
свободы п = 1, так что р, q, и, v суть скаляры. Тогда матрицы ыр, uq,
... суть также скаляры и, следовательно, коммутативны, а
поэтому знак транспонирования можно опустить. Пер-
вые два из условий (5) сводятся к 0 = 0, а третье, как легко видеть,
эквивалентно следующему:
dlu, v)
= р = const ф 0, (8)
д{р, q)
где и = и{р, q\ t), v ~ v(p, q\ t).
Таким образом, бинарное преобразование (1г) является каноническим тогда и
только тогда, когда определитель якобиевой матрицы постоянен (ф 0).
§ 41. Из § 40 и § 35 ясно, что консервативное бинарное преобразование
является полностью каноническим тогда и только тогда, когда
д(и. v)
Ь^+1' (9>
о(р, q)
где и = и (р, q), v = v (р, q), т. е. тогда и только тогда, когда
отображение (класса С*11) области плоскости (р, q) в область плоскости
(и, и) сохраняет площадь *) и ориентацию.
Например, условие (9), если р > 0, удовлетворяется при
_ и = У2р cos q, u=V2psm<7, (10)
где У2р ^ 0.
Вместе с тем переход от прямоугольных декартовых координат (и, v) на
фазовой плоскости к полярным координатам р, q (и = р cos q, v = р sin q)
