Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
+ I wH переменного t вдоль любой кривой класса С(1). Отсюда следует, что
преобразование (lli) является каноническим в том и только в том случае,
если вектор х' + IНх преобразовывается при произвольной функции
Гамильтона H(x,t) и вдоль произвольной кривой в
3 А. Уинтнер
34
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
вектор того же самого вида, т. е. в вектор у' + IКу, где новая функция
Гамильтона К == K(y,t) = Кн зависит от Б, но не зависит от выбора кривой.
§ 27. Далее покажем, что преобразование у = y(x,t), х - = x(y,t),
рассмотренное в § 17, является каноническим тогда и только тогда, когда
существует скаляр р, постоянный в рассматриваемой (2п + 1)-мерной области
и такой, что матричное соотношение
ИГ' = pi, (3)
где
ГмаГ(у,О=*0" (I-1 = Iх = - I, detl = + 1)
удовлетворяется в этой области тождественно. В соответствии с (31) § 25
можно выразить это условие через одну из двух матриц ((yi; yh)), ([Уг5
Ун])-
Применение к (3) теоремы умножения определителей показывает, что
абсолютная величина постоянной р определяется единственным образом
якобианом detr(=/= 0), так как
(detr)2=p2n, (4)
откуда
0 Ф |detr(y,i) | = |р|" = const. (4t>
Функция Гамильтона К= K(y,t), к которой приходим от
функции Гамильтона H(x,t) после канонического преобразования, выразится
формулой
К=цБ-\-Б, (5)
причем подразумевается, что в H(x,t) переменная х выражена с помощью (Нг)
через (y,t), a R = R(y,t) является скалярной функцией, для которой
Rt(y,t) принадлежит классу С(1).
В заключение будет показано, что R и 2ге-вектор (13i) § 17 связаны друг с
другом тождеством
I yt = Rv, (6)
где yt = yt(y, t),R = R(y, t).
Отсюда вытекает, что не только р, но и R зависит только от канонического
преобразования у - y{x,t), но не от выбора Б. В самом деле, функция R =
R(y, t) может быть получена на основании (6) при помощи квадратур в
области у при фиксированном t, так что остается неопределенной лишь
аддитивная функция t. Это согласуется в силу (5) с § 26. Поэтому две
функции R будут рассматриваться тождественными, если их разность не
зависит от у.
§§ 26-38. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
35
Имея в виду (3) и (5), назовем скаляры ц и Д(^, i), соответствующие
каноническому преобразованию у = у (х, t), множителем и остаточной
функцией этого преобразования соответственно.
Доказательство утверждений этого параграфа будет приведено в §§ 28-30.
§ 28. Прежде всего легко видеть, что лемма, сформулированная в конце § 4,
применима к (1), если положить а, А, /*, т равными yt, 1_1Г1Г", Hv, 2п
соответственно и сохранить t фиксированным. Из этой леммы тогда следует,
что при преобразовании рассмотренного выше вида (§ 17) функция (1) § 26
будет представлять градиент Ky = Kv(y,t) для соответствующей К - Кп при
любой Н тогда и только тогда, когда lyt равен градиенту Ry
соответствующей функции R(y,t), а 1-1Г1Г' есть произведение единичной
2га-матрицы и скаляра р, не зависящего от у и зависящего только от
параметра t. Другими словами, преобразование является каноническим тогда
и только тогда, когда существуют соответствующие функции Н = R(y,t) и р =
р(?), удовлетворяющие формулам (6) и (3).
Наконец, подстановка (6) и (3) в (1) приводит к функции
wH^Ry + I-'iilHy, где wH = Ку, ру = 0. Отсюда следует, что
Ну - (R + у,
и тогда мы придем к (5), пренебрегая произвольной аддитивной функцией
одного лишь t.
§ 29. Критерий, доказанный в § 28, является вариантом критерия,
приведенного в § 27, так как каждый из этих критериев является и
необходимым и достаточным для того, чтобы преобразование было
каноническим. Отличие состоит Ь том, что в § 28 допускается, а в § 27 не
допускается зависимость р от t.
Однако следует иметь в виду, что мы не можем найти для произвольно
заданной пары R, р преобразование х - x(y,t), удов летворяющее условиям
(6), (3). Действительно,
Уг = yt (У, t), Г = Г (у, t) = у*}
так что условия (6), (3) представляют собой очень сложную систему
дифференциальных уравнений в частных производных для 2га-вектор-функции х
= х(у, t).
Кроме того, в § 30 мы увидим, что условие р = const является условием
интегрируемости этих дифференциальных уравнении в частных производных
(так, что изложенеое в § 27 следует из
3*
3G
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
результатов § 28). Так как дли выбранной соответствующим, образом р =
p(f) тождество (3) справедливо в силу результатов § 28 и так как из (3)
следует (4), то достаточно доказать, что (det Г)2 не может зависеть от t.
В свою очередь, поскольку det I = +1, то
det (Г'1Г) = (detГ)2, и достаточно доказать, что матрица Г'1Г не может
зависеть от t.
§ 30. В заключение покажем, что для произвольного преобразования x =
x(y,t), которое не обязательно удовлетворяет условию (3) при р = p(t) и
даже при р = р(г/, 0> функция R = = R(y,t), удовлетворяющая условию (6),
существует или не существует в зависимости от того, зависит или не
зависит от t матрица Г'1Г, где Г = Г (у, ?) = ух.
Прежде всего в силу § 17 легко проверить, что если I есть матрица (16) §