Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
t) принадлежит классу С(1) и не обращается в нуль в рассматриваемой (2и-
)-1)-мерной области (х, t). Тогда отображения
y = y(x,t), (Hi)
x = x(y,t) (llz)
двух фазовых пространств (х), (у) друг в друга принадлежат .классу С[1]
при каждом фиксированном t. В силу этих формул преобразования функция
положения, определенная в пространстве (х, t), переходит в функцию
положения в пространстве (у, t) и наоборот. Например, если F - F{y, t)
есть скалярная функция класса С<1\ то частное дифференцирование дает в
силу
(111) или (Н2) тождество
Fx = FFy, (12)
где Г = ух (ilet Г =/= 0). Предосторожность необходима лишь при
преобразовании частной производной Ft по времени t*). Действительно,
производная Ft (у, t) при фиксированном у не совпадает
в силу (lli) с Ft(y(x,t),t), где фиксировано х. Будем
подразу-
мевать (если не оговорено противное), что якобиева 2л-матрица Г, входящая
в тождество (12), выражена с помощью (И2) как функция у и г, а через Гг
обозначим матрицу, получаемую при частном дифференцировании 4 п2
элементов матрицы Г {у, t) по t при фиксированном у. Кроме того, через yt
будем обозначать 2п-вектор yt (у, t), получаемый после частного
дифференцирования y{x,t) по t при фиксированном х с последующей заменой х
через у и t с помощью (Иг). Таким образом,
yt-yt(y,t), (13i)
yx=T = T(y,t) (detr^O). (132)
Пусть yt также принадлежит классу С(1). Тогда с помощью непосредственного
дифференцирования (см. § 2, § 1) найдем, что в силу формул преобразования
(lli) - (Н2) класса С[1] имеют место соотношения:
(Vx)t={Vt)y{yx), (14i)
Ух=(ху)-\ (142)
/= (ух)х'+ yt, (143)
*) Ср. с "лагранжевой" и "эйлеровой" точками зрения в кинематике
непрерывных сред.
§§ 15-25. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
27
причем (14i) и (142) при каждом фиксированном t суть тождества в фазовом
пространстве, а (142) есть тождество по t вдоль любой кривой у = y(t) или
х - x(t) класса С(1) в фазовом пространстве. Используя (13]), (132),
можно переписать (14i), (142), (14з) в виде
{yt)v^YtY-\ (150
Ху = Г-1, (152)
y'=rx' + yt. (15з)
§ 18. Нет необходимости говорить, что все эти тождества справедливы также
и тогда, когда х или у суть векторы не в 2л-мер-ном фазовом пространстве,
а в пространстве с любым числом измерений т. С этой точки
зрения формулы (lli) и (153)
не отличаются от формул (5) и (6) § 10, а формулы (12),
(15i), (152) могут быть использованы для проверки тождества (8) § 10.
Если Fx,...,Fl суть скалярные функции класса С(|), зависящие от m-вектора
х и, возможно, от t, то через
(*¦-,... ,*?) (15а)
будем обозначать "якобиеву матрицу", в которой столбцы являются
градиентами функции F по отношению к х, так что эта матрица имеет т строк
и I столбцов.
Будем называть функции F1,..., F1 независимыми в рассматриваемой области,
если матрица (15а) имеет ранг I в этой области*), т. е. в каждой точке
области существует необращающийся в нуль минор с I столбцами и I строками
(подразумевается, что I ^ т).
Будем называть функцию консервативной, если она не зависит явно от
времени. Например, преобразование (lli) -
(112) назовем консервативным, если у = у(х) и, следовательно, х=х(у).
Консервативные функции х отображаются с помощью консервативных
преобразований в функции у, являющиеся также консервативными. Из (32), §
15 видно, что если функция Лагранжа Ь является консервативной (L = Ь(д',
д)), то такой же будет функция Гамильтона Н - Н(р,д), и наоборот.
§ 19. Положим т = 2п и обозначим через (е^) и (0) единичную и нулевую л-
матрицы соответственно.
*) В соответствии с общепринятой теоремой это определение независимости
совпадает с классическим понятием, если пренебречь нигде по плотными
множествами в пространстве х.
28 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Пусть I обозначает постоянную 2гег-матрицу *)
(0) (el) \
.( (0) (е*)\
\-("?) (0) ) '
(16)
так что /' = -I, /_1 = - I, det 1 = 1. Тогда в соответствии с (16), (5) и
(6) 2ге-векторное соотношение
' + О +'(я> ¦ <">
где р, q, Hq, Up, [L\q и 0 суть re-векторы, представляет собой тождество
по t.
Ниже мы будем пользоваться при заданной функции Гамильтона Н = Н(х, t)
дифференциальным оператором V, определенным формулой
WF = Ft + Hx-IFx, (18)
где F = F{x,t)-скалярная функция класса С(1>, так что VE представляет
собой непрерывную скалярную функцию в (2ге+1)-мерной области (х, t).
§ 20. Если две скалярные функции F, G от 2ге-вектора х - (Xj) принадлежат
классу С<'), то можно определить непрерывную скалярную функцию (F; G) от
х, полагая
(F; G) = FX-1GX, (19)
так что (в силу (16))
(10,)
Таким образом, если F1, F2, F3 принадлежат классу СО), то
{F'F2; F3) = (Е1; F3)F* + (F2; F3)Fl, (200
{Fl + F3; F3) = (Fl; F3) + (F2; F3). {2(h)
Пусть F\ F2, F3 принадлежат классу C(2), Тогда, применяя
(19) к функциям F = (Fl; F2); G - F3, получим, что ((Fl; F2); F3)
имеет вид
((Я; F2); F3) - {F2, F3; F1} ~ {F\ F3; F2}, (21)
*) Эта кососимметрическая матрица, играющая в дальнейшем фундаментальную
роль, соответствует, как известно, нормальному виду произ-
