Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
пфаффиан совпадает с полным дифференциалом). Соответственно с этим
классическое доказательство Лагранжа формулы (19) заключается в
непосредственном дифференцировании функции (18) по Cj, в последующем
интегрировании по частям, опирающемся на определение (1) функции [H\q и
на применении формулы б(F') = (бF)' к F(c,t) ~ q(c,t)\ ср. с
доказательством формулы (12).
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 15. Рассматривая скалярную функцию L(q',q,t) двух п-векторов r( = q'),q
и времени t, мы предположили (§9), что и-вектор-функция Lr(r, q, t)
принадлежит классу Св исследуемой
области (г, q, t). Для последующего нужно предположить допол-
нительно. что якобиап компонентов вектора Lr по отношепию к компонентам
г, вектора г, т. е. гессиан det (LriTk), не обращается в нуль ни в одной
точке (2и + 1)-мсрной области (г, q, t). Тогда можно отождествить функцию
L(r,q,t) с функцией L(r,s), рассмотренной в § 8, причем параметрический
вектор s(c произвольным числом I компонентов s i,..., si) имеет здесь
компоненты, равные компонентам вектора q и времени t, так что
I = п + 1. Таким образом, при замене г = (гД на q' = (q/) формулы (4),
(5), (6) § 8 переходят в следующие:
р = Lq'(q',q,t), (1Д
Q'- Hp{p,q,t), (12)
L(q',q,t) + H(p,q,t) = q'-p, (20
(L , ,)(H )=?, (22)
4i'qk',y ViVh' 4 '
тогда как формула (7) этого параграфа распадается на две формулы:
Lq(q',q, t) +Hq(p, q,t) = 0, (34)
U ($', q, t) + Hi (p, q, t) = 0. (32)
24
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Векторные соотношения (li) - (I2), (3i) и скалярное соотношение (Зг)
допускают двойную интерпретацию, объясненную в конце § 8. В соответствии
с (22) условия
det(? (g', д, Ц)#0, (4Ц
det (Я (p,g,0)#o (42)
PiPk
эквивалентны одно другому в силу формул преобразования (li) - (12).
Последние же являются в силу изложенного в § 1 взаимно обратимыми и
инволюционными.
В результате применения к кривой g = q(t), рассмотренной в § 9,
преобразования (li) или (12) эта кривая класса С(2) в га-мер-ной области
(д) и вектор скорости д' = q'(t) вдоль нее заменяются кривой х . = x(t)
класса С(1) в 2га-мерном пространстве {х), образованном га + га
компонентами двух га-векторов р = (рЦ, g = - (9г) - Другими словами, х
= (xj) есть 2га-вектор:
, х == (Xi), Xj =? Pi, Xj+n = gi, (5)
так что
Щр, Q,t) = Я (a;, f).
§ 16. Компоненты р,- га-вектора (li) обычно рассматриваются как
"обобщенные импульсы", которые являются по отношению к данной функции
L(r, g, t) "канонически сопряженными" с компонентами 74 = д/ вектора
"скорости" т = д'. Пространство (га-мерное) "обобщенных координат" g
называется "позиционным пространством", а 2га-мерное пространство (х),
определенное посредством (5),- "фазовым пространством". Целое число га
называется "степенью свободы". Наконец, L и Н называются ассоциированными
друг с другом функциями Лагранжа и Гамильтона соответственно.
Что касается представления лагранжевых производных с помощью функции
Гамильтона, то из (li), (3i) § 15 и из (1) § 9 видно, что
p' + Hg(p,q,t)^[L]q, (6)
тогда как в силу (12)
-д' + яР(р,д,ц = о. (60
Аналогичным образом (li), (2), (3) показывают, что формула (4) § 9
эквивалентна следующей:
H'-Ht= q'-[L]g.
§ 16а. Вместо функции Лагранжа L(q', q, t) era степенями свободы
рассмотрим функцию U, определяемую в соответствии с (5)
§§ 15-25. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
25
формулой
т
L*(x', X, t) = -H(x'i,...,X2n,t)+ (7)
i=l
Таким образом, функция L" имеет 2п степеней свободы, но вместе с тем
содержит только п из 2п составляющих х/ скорости, а 2п компонентов х,
вектора х в фазовом пространстве рассматриваются как компоненты вектора в
2га-мерном позиционном пространстве.
Прибегая к определению лагранжевой производной для функции (7)
[L']x=L'x:.-L:., / = 1,..., 2лг,
получим,что
[L']x . = Нх. (х, 0 - х'+п, [L'hi+n = Нх.+п (*,*) +
1=1,...,". (8)
Сравнивая формулы (8) и (5), видим, что тг-векторные тождества (6), (6i)
могут быть записаны в симметричной форме
-?'+Яр. = {^]р., />! +Я,. = [?*],.; i = 1.....". (9)
Сравнение (7) и (2i) показывает, что L* = L в силу (5).
§ 17. Из формул (6) § 10 и (1) § 15 следует, что если применить в
позиционном пространстве преобразование (5) § 10, считая t переменным, то
соответствующее точечное преобразование фазового пространства определится
единственным образом. Такое распространение преобразований и-мерного
пространства (д) на 2и-мерное пространство (х) будет изучено в § 48.
Ниже будет рассмотрен более общий случай, а именно случай преобразований
пространства (х), которые не обязательно вытекают непосредственно из
преобразований пространства (q).
Если у обозначает 2/г-вектор, в который преобразовывается х, то эти
преобразования имеют вид у = y{x,t), где в соответствии с (5)
У=(Уз), 7 = 1.....2 п,
Ух = и,-, yi+n = Vi, i = 1,..., п,
причем и = (щ) и v = (Vi) суть п-векторы, которые представляют новые
импульсы и координаты соответственно.
(Ю)
26
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
Мы будем предполагать, что якобиан ijx(x,t) для 2л-вектор-функции у (х,
