Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
19, то из (15]) § 17 имеем
(lyf)p- СП
так что
(tyt)y - 1Г "Г-1.
Следовательно, матрица (Iг/1) v является. симметрической тог да и только
тогда, когда
1Г(Г-1== (ЩГ-1)' (8)
или
ГЧ1Г< + 1У1Г = 0.
Так как I = const, то последнее условие перепишется в виде (Г'1Г)* = 0.
Отсюда следует, что матрица (Iyt)v является симметрической тогда и только
тогда, когда 2п-матричная функции Г 1Г не зависит от t. Вместе с тем эта
матрица является в силу сказанного в начале § 3 симметрической тогда и
только тогда, когда вектор lyi представляет собой градиент, т. е. тогда и
только тогда, когда существует R = R(y,t) такая, что равенство (6)
удовлетворяется тождественно по у при любом фиксированном t.
Доказательство можно считать на этом законченным.
Возвращаясь к § 29, можно сделать вывод о том, что утверждения,
высказанные в § 27, доказаны теперь полностью.
§ 31. Из определения канонического преобразования (§ 26) видно, что
совокупность всех канонических преобразований, определенных в одной и той
же (2п + 1)-мерной области, образует группу. Правило составления
якобиевых матриц Г, остаточных функций R и множителей^ р таково, что если
Гр Ri, pt и Гг, R%, рг
§§ 26-38. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
37
принадлежат двум каноническим преобразованиям, а Г, R, р - к
каноническому преобразованию, к которому приходим в результате второго из
этих преобразований после первого, то
Г = Г2Г,, (9i)
р = Р1Р2, (92)
R = p2ff, + R2. (93)
Эти формулы легко вывести с помощью (3) и (6). Из (3) и (6) также
видно, что если Е обозначает единичную 2/1-матрицу, то
Г = Е, р = 1, R = 0 соответствуют тождественному
преобразо-
ванию у = х. Поэтому из (9i), (92), (93) вытекает, что если Г, R. р
принадлежат каноническому преобразованию, то
Г-1, -р-1^, ji-1 (10)
соответствуют обратному преобразованию.
§ 31а. Напомним, что преобразование является каноническим тогда и только
тогда, когда
Г'1Г = pi, (И)
где
Г == Г (у, t) = ух, р = const ф 0, т. е. что (3) эквивалентно (И).
Действительно, если
Г1Г= рТ Ф 0, то, поскольку I-1 = -I, имеем
г' = pi-т-п,
так что
Г' = р!Г П \ Г'ТГ^рТ.
§ 32. В §§ 62-63 будет доказано, что из (3) вытекает условие
det Г (г/, t) = рп (р = const Ф 0), (12)
которое в случае нечетного числа степеней свободы является более сильным,
чем (4).
§ 33. Пусть хч и yv, v = I, II суть четыре 2лу-вектора, и пусть х1П и
у111 обозначают 2 (ni + ли) -векторы, полученные в результате объединения
компонентов х1, х11 и у1, у11. Если оба компонента преобразований хч =
xv(yv, t) являются каноническими, причем pv и Rv - Rv(yv, t) суть
множителя и остаточные
38 ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
функции соответственно, и если р1 = |хп, то из § 27 видно, что
преобразование г111 = х111 (у1 п, t) является также каноническим, для
которого множитель и остаточная функция суть р.1 = = рп и Я1 + Яп.
§ 34. Каноническое преобразование y = y(x,t), x=x(y,t) называется
полностью каноническим, если любая функция Гамильтона H(x,t)
преобразуется в функцию Гамильтона K(y,t), совпадающую при у = y(x,t) с
Я(х, t), так что при любой Я
K(y,t) =H(x(y,t),t), (13)
т. е. (см. (5), (12))
р=1, R(y,t) = 0 (det Г = 1).
Очевидно, что эти преобразования образуют подгруппу той группы, о которой
говорилось в § 31.
§ 35. Другую подгруппу получим, рассматривая канонические преобразования
x - x(y,t), являющиеся консервативными (см. конец § 18), так что х =
х(у). Из (6) видно, что и для этой подгруппы преобразований R(y,t) =0,
так что (5) сводится к К = рЯ. Из (13) поэтому следует, что
консервативное каноническое преобразование является полностью
каноническим тогда и только тогда, когда его множитель равен +1.
§ 35а. Пусть: F(x), G(x) суть две скалярные функции х класса С(1), и
пусть определение (19) § 20 записано в виде
(F-, G)x = FXIGX,
причем верхний индекс х указывает на зависимость функции (F\G) от системы
координат х.
Если у= у(х) -другая система координат, то в силу (12) § 17 получим, что
(F; G)x = (YFV) ¦ (irGv),
так что в соответствии с § 1
(F- G)x = Fy-riTGy.
Следовательно, если только условие (11) выполняется, то независимо от
конкретного вида функций F иб
(F-,G)x = ii(F-,G)v.
В соответствии с этим консервативные канонические преобразования у = у(х)
характеризуются тем свойством, что скалярная
g§ 26-38. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
39
функция (F; G) остается относительно инвариантной*) при произвольных F и
G, причем слово "относительно" указывает на появление произвольного
постоянного множителя р (так что р = = 1 в случае абсолютной
инвариантности).
§ 36. Если преобразование х = x(y,t) является каноническим, a. to -
некоторое фиксированное значение t, то консервативное преобразование x =
x(y,to) является также каноническим. Это видно из (3), если положить р =
const. Если же известно только, что преобразование x=x(y,t) оказывается
каноническим при любом фиксированном t - tQ, то оно может и не быть
каноническим при переменном t, так как тогда ничто не гарантирует
