Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
вольной неособенной кососимметрической билинейной формы. Другими словами,
для любой неособенной кососимметрической матрицы S существует неособенная
матрица Т такая, что T'ST = I.
§§ 15-25. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО 29
причем через
{G1, G2; G3} =г {Gz, G1; G3}
обозначается некоторая трилинейная форма, составленная из частных
производных Gl, G2, G3 и являющаяся симметричной по отношению к G1, G2.
Даже без использования явного выражения для {G1, G2, G3} мы получим из
(21)
((Я; Я); Я) + ((Я; Я); Я) + ((Я; Я); Я) = 0. (22)
Так как (F\ const) = 0 в силу (19), то из (201), (202) с очевидностью
вытекает, что если F = F(Fl,..., Я) есть скалярная функция некоторого
числа I независимых скалярных переменных Fh и если каждое из Fh и G суть
заданные функции класса С(1) от а: = (х^, то соотношение
i
(Е(Я,...,Я");С) = 2(Я;С)/>(Я,...,Я"), (23)
k=1
где через FFk обозначена частная производная F = F(Fl,..., Я1) по Fh,
представляет собой тождество по х при любой полиномиальной функции F, а
следовательно, и для любой F класса С(1) в соответствующей области
(F1,..., Ял).
§ 21. Если заданная функция Гамильтона H(x,t), а также три скалярные
функции F(x, t), Я (я, t), F2(x, t) и частные производные Ft1, Ft2
принадлежат классу C(1) в (2n+ 1)-мерной области {х, t), то формулы (18)
и (19) показывают, что соотношения
VF = Ft+ (Н; F), (24*)
(Я;Я), = (/'(1;Я) + (Я;/'?) (24.)
суть тождества в этой области. Отсюда следует, что если F(x,t), G(x, t) и
заданная функция Гамильтона Н(х, t) принадлежат классу С<2>, то
V(F;G) = (VF-,G) + (F;VG). (25)
Действительно, применяя (22) к функциям
Я = F, F2- G, F3 = Н
и выражая (H\F) и (G; Ы) = - (//; G) с помощью (24i), легко получим, что
в силу (202) и (242)
(Я; (F-G)) = (VF~Ft;G) - (VG - Gt;F) *=
= (VF;G) + (F; VG) - (F-,G)t.
Сравнивая это тождество с (24i), придем к (25).
30
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
§ 22. Вместо билинейной дифференциальной операции (19), применяемой к
паре скалярных функций F, G вектора х = (Xj), можно рассмотреть
"полярную" дифференциальную операцию, которая применяется к 2л-вектору у
= (уД, зависящему от двух скалярных переменных /, g. Если функция у =
y(f, g) принадде жит классу С(1) в рассматриваемой двумерной области
(f,g), то упомянутая билинейная операция связывает с 2/г-вектор-функ-цией
у =у (f,g) непрерывную скалярную функцию
Легко можно проверить, что из соотношения, аналогичного (21) и
соответствующего (22), вытекает тождество
для любой 2га-вектор-функции х = x(fl, /2, /3) класса С<2) трех скалярных
переменных Д f2, f (нижние индексы / в (27) обозначают частное
дифференцирование).
§ 23. Если функция F = F(x) такова, что (F\G) =0 в рассматриваемой
области (х), то говорят, что F находится в инволюции с G - G(x). Тогда в
силу (19) и функция G находится в инволюции с F.
В силу (23) любая функция F = F(G) находится в инволюции с G. Если
Fl,F2,F3 принадлежат классу С<2> и если F1 находится в инволюции с F2 и
F3, то в силу (22) F1 находится также в инволюции с (F2; F3).
Если функции F1,,Fl класса С(1)
(i) находятся в инволюции друг относительно друга и
(ii) независимы в рассматриваемой 2"-мерной области х-,
то говорят, что эти функции образуют инволюционную систему. Если из
условия (ii) и из § 18 (где т = 2тг) вытекает лишь неравенство I ^ 2п, то
из обоих условий (i) и (и) следует, что I ^ п. Действительно, из (г) и
определения (19) вытекает тождественное обращение в нуль матрицы (Fxi-
lFxh) с I строками и I столбцами, где 2/г-матрица I является в силу (16)
кососимметрической и неособенной. Вместе с тем из условия (ii) вытекает,
что матрица (15а) с 2и строками и I столбцами должна иметь ранг I.
На основании же обычных свойств кососимметрических матриц (или же
непосредственно используя выражение для I) получим, что если I > п, то
(ii) противоречит (?).
\Ug\- У fly g,
(26)
так что (в силу (16))
[Д f\p + [Д /3]/< + [/3; flh = О
(27)
§§ 15-25. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО
31
Если (г) заменить более общим условием:
(ia) каждая из функций (F!; Fh) (i, к = 1,. .., I) от х есть функция F =
F(FlF1) заданных I функций F',...,Fl, то говорят, что F1,... ,Fl образуют
в рассматриваемой области х функциональную группу. В случае такой
функциональной группы нельзя заменить неравенство I ^ 2га неравенством I
^п.
Если t входит явно в F, то предполагается, что три определения этого
параграфа справедливы при каждом фиксированном t и любых х в области {х,
t).
§ 24. Определения § 23 могут быть проиллюстрированы на классическом
примере, встречающемся в задаче многих тел. С этой целью рассмотрим 6и
компонент Xj вектора х, обозначая их через
Eh, tjai Shi Eft, Нл, Zh (h - 1,..., n). (28)
П
Выбрав n скалярных констант mи и обозначая^ = 2 ¦ определим
h=1
I = 9 функций F1,..., F9 по формулам
Fj = 2 ^h?h - 2Zl1h, ^11 = 2 "h> ^III - 2 mhSh - t 2 Eh,
(290
F' = F}, F* = F?,..., Л = .... F* = F&, (29*)
причем FJ, FJ для v == I, II, III получаются из (294) циклической
перестановкой ?, ц, t, и E, H, Z. Предполагается, что все mh > 0.
