Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Легко удостовериться в том, что если исключить из бн-мер-ного фазового
пространства конечное число аналитических гиперповерхностей, то не только
семейство (29г) девяти функций, но и любое подсемейство этого семейства
состоит из функций, являющихся независимыми в смысле определения в § 18.
Применяя далее формулу (19) к паре функций F = FT, G = Fs, определенных
согласно (29г), приходим к выводу, что матрица ({Fs; FT)) 9X9 скалярных
функций (Fs; F') равна в силу (29])
Фг Фп ФпД
Фп 0 М ,
Фш - -М 0 )
0 FS - F?
- 0 F}
. F* -F} 0
и 0 обозначает трехстрочечную нулевую матрицу, а М - произ-
32
ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ
ведение положительной скалярной постоянной на трехстрочечную единичную
матрицу. Сравнивая (30) с формулами в § 23 и пренебрегая упомянутыми выше
гиперповерхностями, можно заключить, что девять функций (29г) образуют
функциональную группу, не являющуюся, однако, инволюционной системой.
Этот же вывод справедлив для трех функций Fi, в то время как три функции
Fn, а также три функции Fui образуют инволюционные системы. Кроме того,
любая из функций F\ находится в инволюции с функцией Fn или функцией Fm
тогда и только тогда, когда индексы |, т), ? всех этих функций берутся
одни и те же, а любая из функций Рц находится в инволюции с Fm тогда и
только тогда, когда индексы ?, т), ? этих функций различны.
§ 25. Обращаясь к соответствующей паре преобразований (Hi) - (11г)
фазового пространства, можно ввести две кососимметрические 2га-матрицы,
являющиеся функциями положения в (2п + 1)-мерной области (у, t) и
определяемые следующим образом: первая из этих матриц ((у,-; г/ft))
образована (2/г)2 скалярными функциями (у,-; Ук), которые получим,
полагая функции F и G в (19) равными двум произвольным компонентам ffi =
yi{x,t), Ук = yk(x,t) 2н-вектора (lli) и выражая затем х, как и в § 17, с
помощью (11г) в виде функции от (у, f); вторая же матрица ([уг-; уь])
образована (2п)2 скалярными функциями [у<; у&], которые получим, полагая
функции / и g в (26) равными двум произвольным компонентам у*, уъ. 2н-
вектора у. Таким образом, если индексы i и к относятся к строке и столбцу
соответственно, то из определений (19), (26) и (16) видно, что две
указанные 2н-мат-рицы могут быть записаны как произведения
((Уи Ук)) = У*1у'х, ([Уг; Ук]) = хЧху,
причем I' = -I = I-1. На основании (13г) и (152) получим далее, что
((у<; Ук)) = пг\ ([у<; yj) = (пг')'л (31)
так что обе матрицы (31) являются транспонированными обратными матрицами
по отношению друг к другу и они могут быть выражены через якобиеву
матрицу Г = ух.
КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 26. Используя функцию Гамильтона Н = Н(х, t) класса СМ и преобразование
(lli) - (II2), удовлетворяющее С-условиям § 17, и принимая во внимание
(12), (13i), (13г), определим в (2п + 1)-мерной области (у, t) 2/г-
вектор-функцию w = wH1 полагая
w"(y, t) =wH = ly, + l-'ПГНу.
(1)
§§ 28-18. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Если преобразование (lli) - (Иг) фазового пространства (или, точнее
говоря, вектор yt(y, t) и матричная функция Г(у, t), соответствующие
этому преобразованию при произвольной функции Н) обладает тем свойством,
что для каждой функции Н = = Н (х, t) существует скалярная функция К = Кн
= Кн(у, t), с помощью которой 2/г-вектор-функция (1) представима как
градиент Ку(у, t) по отношению к 2/г-вектору у, то (lli)¦- (II2) назовем
каноническим преобразованием. Очевидно, что при заданной Н функция К -
К11 или не существует, или же определяется с точностью до произвольной
аддитивной функции одного лишь I. Поэтому две функции К = Кн не будут
рассматриваться как различные функции, если их разность ire зависит от у.
Имея в виду выделенное разрядкой в приведенном определении слово
"каждой", заметим, что функция К будет существовать для некоторой Н и
тогда, когда преобразование не является каноническим (например, таким
является случай Н = const при любом преобразовании). Вопрос о том, каковы
должны быть функции Н, для которых К -существует в случае заданного
неканонического преобразования, мы рассматривать не будем (ответ на этот
вопрос связан с теорией функциональных групп Ли).
§ 26а. Мы придем к 2/г-вектор-функции wH(y, ?), а затем и к понятию
канонического преобразования, если подвергнем операцию (17) произвольному
преобразованию (lli) - (Иг) с учетом того, что 2/г-вектор х' + 1НХ (х, t)
не является функцией положения в (2/г+ 1)-мерной области (х, t),
поскольку она определена лишь по отношению к произвольной заданной в этой
облас ги кривой (x(t), t) класса С+
Во-первых, из (15з) и (12) видно, что (lli) преобразует функцию х' + IНх
в сумму функций Т~1у' - Г_11/1 и И1'#,,, откуда, поскольку в силу (16) I
= I-1, имеем в соответствии с определением (1)
X' + 1ИХ = Г-1 {у' + III/! + П^ПГ'Я,} = Г-1 {у' + In;"}. (2)
Это означает, что неособенная якобиева матрица (13г), независимо от того,
является или не является преобразование (lli) каноническим,
преобразовывает вектор-функцию х' + IНх переменного t в вектор-функцию у'
