Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
/(х (*", *))=/(*(5°, t)) + A (t)R(t) (х° - х°) + о (I л:° - *° |).
Следовательно,
х'(л:0, t) - х'(х°, t)=A(t)R(t)(x°-x°) + o(jx°-x°l) или (согласно (И))
R'(t) (х° - х°) + о (| х° - х° [) = A (t)R(t) (х° - ?°) + о (|х° - х°|),
что и доказывает полностью (11), поскольку х° - произвольный постоянный
вектор, близкий к х°.
§ 86. В соответствии с (9) матрица А (t) коэффициентов системы (8) тп
однородных линейных скалярных дифференциальных уравнений для ? = (?i)
определяется для заданной системы (1) однозначно данным решением х =
х(х°, t). Это частное решение будем обозначать далее x(t). Систему (8) с
матрицей коэффициентов (9) будем называть "системой уравнений Якоби,
соответствующей данному решению л: = x{t) системы (1)". Любое же решение
? = s (t) системы (8) (а не только какое-либо из т решений ? = ?,1(0>
рассмотренных в § 85) назовем "смещением решения х = x(t) системы (1) *
*). По существу, подразумевается при этом инфинитезимальное смещение, так
как указанная терминология предназначена только для описания следующего
факта.
*) В литературе (8) часто называют уравнениями в вариациях, а ? = = ?(t)
-вариацией решения х - x{t). {Прим. перев.)
84
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Пусть ? = ?(?)-некоторая m-вектор-функция класса в промежутке 0 ^ I ^ М,
и пусть е > 0 - малый параметр, не зависящий от t. Тогда, функция x(t) +
eg (?) от t удовлетворяет уравнению (1) с точностью до членов выше
первого порядка относительно | в том и только в том случае, если ?(?)
представляет собой смещение решения x = x(t) системы (1). Другими
словами, данный та-вектор {;(?) будет или не будет обладать тем
свойством, что равномерно по t при 0 ^ t ^ М
(x(t)+el(t)Y = i(x(t)+El(t)) + o(e), е + 0, (12)
в зависимости от того, представляет или не представляет этот вектор
решение системы (8). Для доказательства достаточно обратить внимание на
то, что в силу (9) и формулы Тейлора имеем
/(* (0 + "Б (0) = /(*(*)) + вА (t) g (0 + О (е),
и, поскольку по предположению x'(t) = f(x(t)), (12) эквивалентно
соотношению
еГ(0=вА(0Е(0+°(в).
Так как ?(?) и A(t) не зависят от е, то отсюда следует, что (12)
эквивалентно (8).
§ 87. Пусть х = x(t, е) есть п-векгор-функция класса С(!) в
прямоугольнике 0 ^ t М, const, и пусть эта функция
при каждом фиксированном е удовлетворяет уравнению (1) и обращается при г
= 0 в рассмотренное выше решение x(t). Тогда частная производная
Е(0 = *.(*,0) (13)
представит решение системы (8). Доказательство такое же, какое
приводилось в конце § 86.
Так как в соответствии с § 84. каждое решение x(t) можно включить в
выбранное надлежащим образом семейство решений x(t,e) и так как, в
частности, тп решений Iй (0 системы (8), рассмотренных в § 85, имеют вид
(13), то сразу видно, что и любое решение ?(?) системы (8) может быть
представлено с помощью семейства x(t, е) в виде (13).
Если F(x) -интеграл системы (1), то F(x(t, е)) является в силу § 82
функцией одного только е.
Следовательно, составляя производную от F(x(t,B)) по е при в = 0, найдем,
что скалярное произведение
l(t) ¦Fx(x(t))= const
(14)
s§ 79-90. ЛОКАЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ 85
вдоль решения (13) системы (8), а следовательно, и вдоль любого решения
|(i) этой системы.
Заметим теперь, что если x(t) есть решение системы (1),
то
функция х (t + const) также представляет решение (1).
Приме-
няя формулу (13) к семейству x(t,e) = x(t + е), получим, что система (8)
всегда допускает решение
t = (15)
§ 88. Если у = у (х) - отображение класса С[2] области х на область у
(см. § 5), то система (1) и ее интегральная кривая х = = x(t)
преобразуются в систему у' = g(y) и в соответствующую интегральную кривую
у = y(t). Пусть тДО -произвольное смещение решения y(t) системы у' ¦-
g(y), так что в соответствии с (8) и (9)
r\' = B(t)i1, (16)
где
B(t) - (gv(y))y=yiti- (17)
Тогда если S(t) обозначает матрицу, аналогичную матрице R(t) в формуле
(7), то S(t) удовлетворяет уравнению, аналогичному (10):
S'(t) = B(t)S(t).
Явная связь между S(t) и R(t) чрезвычайно сложна и ее нельзя вывести с
помощью якобиевой матрицы ух = 7 = /(?) отображения у = у(х) вдоль
интегральной кривой х = x{t). Соответственно связь между коэффициентами
матриц (9) и (7) соответствующих якобиевых систем (8), (16) не выражается
только через матрицу /.
К счастью, матричное дифференциальное уравнение
T'(t) = B(t)T(t) (164)
имеет решение Т (t), находимое более легко, чем частное
решение T(i) = S(t), рассмотренное выше. Действительно,
функция
J(t)R(t) также удовлетворяет уравнению (16i), т. е.
R'(t)=B(t)R(t), (18)
где
R(t)= J(t)R(t), J(t)= yx(x(t)), det/ф 0. (18,)
Этот факт легко проверить с помощью (9), (10), (17) и выражения g(y)
через f(x) и якобиеву матрицу / = ух-
§ 89. Для того чтобы якобиева система (8), соответствующая решению x =
x(t), имела постоянную матрицу А коэффициентов,
86
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
достаточно, как видно из (9), чтобы решение х(1) системы (1) не зависело
