Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(7)
§§ 91-102. ГАМИЛЬТОНОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ СИСТЕМЫ
91
параметрического вектора с = (cj) будут постоянными интегрирования для
лагранжевой системы [L]q = 0, где L = L(q', q,t), так что кривые q = q(c,
t) для каждого фиксированного с являются интегральными кривыми данной
лагранжевой системы [L]q = 0. Тогда формула (19) § 14 сводится в силу
(11) - (2i) § 15 к следующей:
&S = - (Щы,и 6411 + (H)f==ti + (р)(=(п 6 (9)|=(н -
- (P)l=li 6 (?)|=Д> (10)
где в соответствии с (18) § 14 и (20) § 14
II t (С)
S = S(c)= J L{q'(c,t),q(c,t),t)dt, (Hi)
Я(с)
т д
6 = 2 'T~dci- (lj2)
i=i дс>
Если, в частности, система консервативна, то соотношение (9) выполняется
для любого решения с постоянной интеграла энергии, равной h = II (и
являющейся, разумеется, функцией h = = h(c) постоянных интегрирования
с;). Поэтому (10) перепишется в виде
6S (с) = - ш11 + ш1 + (p)t=iU a (q)t=tU- (р)ыI a (12)
Заметим, что постоянные интегрирования не обязательно независимы, т. е.
их число гаг не обязательно меньше числа степеней свободы системы га.
Мы используем в дальнейшем дополнительно тот факт, что для функции,
зависящей лишь от сц и, в частности, для / = с справедливо в силу (Иг)
соотношение 6/(с) =df(c)
§ 98. Предположим, что семейство q = q(c, t), рассмотренное в § 97, имеет
следующую частную структуру:
q = q(c, t) = q(q°, q,t°, t, t), q° = (q)t=t°, q = (q) t=l, (13)
где t° ^ t ^ t, так что постоянные q° = (qi°), q = (qi) определяют
"начальное" и "конечное" положения в позиционном пространстве на
интегральных кривых семейства (13). Величины t°, t суть две
дополнительные постоянные интегрирования, которые можно рассматривать как
независимые параметры.
В соответствии с (13) гаг параметров cj § 97 могут быть выражены через
2га -f- 2 постоянных интегрирования qi°, g,, ?°, t. Сле-
92 ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
довательно, положив t° - t1, I = tu, можем записать (lli) в виде
t
S = S{q\q,t\t)= \ L(q',q,t)dt, (14)
t°
где q = q(q°, q,t°, t). В то же время соотношение (10) сводится в силу
последнего замечания в § 97 к следующему:
dS= - (Н) t=t dt+(H) i=i° ¦ + (р) t=i • dq - (р) (=г° ¦ dq°.
Из этого соотношения видно, что частные производные функции (14) равны
*?e. = - (p)i=to, S- = (p)t=1, (150
St' = (H)t=ta, ST = -(H)t=T. (152)
§99. Если функция L консервативна L = L(q', q), то согласно изложенному
выше (см. § 79) величины t и t° входят в (13) лишь в виде разности t -
t°. Вместе с тем в силу (3) функция Н равна вдоль любой интегральной
кривой значению h, не зависящему от t. Следовательно, (13) и (15г) можно
записать в виде
q= q(q°, q, t - t°, t), (16j)
Sia = h, ST = -h. (16a)
Подстановка (16i) в (9) показывает, что постоянная энергии h является
функцией постоянных интегрирования q°, q.
Последние определяют в силу (13) два различных положения на одной и той
же интегральной кривой в позиционном пространстве.
Учитывая (16i), увидим, что h - функция одного лишь q°:
h = h(q°), q°=(q°). (17)
Используя (14) и (17), определим фупкцию W постоянных интегрирования q°,
q, t°, t по формуле
t
W = S + h(q°)(i-t°) = J (L + h)dt, (18)
г°
так что ТУ не зависит от t° и t, т. е. ТУ = W(q°,q).
Действительно, (16г) показывает, что частные производные суммы (18) по t°
и t обращаются тождественно в нуль. Так как функция S выражается через
q°, q, t°, t, то ее частная производная Sh с учетом (17) также равна
тождественно нулю. Таким образом, из (18) получим, что
г-г° = Wh(q°,q)- (19)
§§ 91-102. ГАМИЛЬТОНОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ СИСТЕМЫ
93
Кроме того, S является линейной функцией разности t -t°, а не величин t и
f° в отдельности. Наконец, подынтегральное выражение в (18) равно pq' в
силу интеграла энергии Н - h и соотношения L - -Н + p-q' (см. § 15).
Следовательно,
t
\L{qr,q)dt=S^S{q*,q,t-V>), (20i)
i"
I
w(q°,q) = lp-q'dt. (202)
Формула (202) показывает, что криволинейный интеграл ] p-dq есть функция
точек q°, q на концах интегральной кривой в позиционном пространстве *).
§ 100. Переходя к другому примеру приложения § 97, предположим **), что
данное семейство частных решений q = q(c, t) консервативной лагранжевой
системы {X], = 0 состоит из замкнутых кривых в n-мерной области q и,
следовательно, q(c.,t + т) = = я(с, t) для каждого с и некоторого периода
т = т(с) >0.
Предположим далее, что функция т= т(с) от с принадлежит классу С<г' ***).
Тогда т - однозначная функция лишь постоянной интеграла энергии h, т. е.
период т(с) зависит не от отдельных постоянных интегрирования с3-,
составляющих с = (с3), а лишь от их комбинации h = h(c).
Для доказательства заметим сначала, что поскольку q(c,t) имеет период т =
т(с), то g'(c, t) и р = p{c,t) также имеют тот же период (см. (li) § 15,
где по предположению функция X не зависит явно от t). Следовательно,
полагая ?п(с) =т(с), fi(c) =0
*) Это замечание вместе с изложенным в § 13а представляет собой основу
теории поля в вариационном исчислении. Однако соотношения §§ 98,99
значительно менее содержательны, чем соответствующие соотношения теория
