Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(р, q) - h = const. Поскольку к Н и Н можно добавить произвольные
постоянные, то выберем h - 0, так что Н(р, q) = 0. Тогда из (5) видно,
что импульс р0, канонически сопряженный с координатой qo = t, равен ро =
-Н (р, q, t).
§94. Предположим, что функция Гамильтона (1) обладает в (2га -+- 1) -
мерной области (р, q, t) не обращающимся в нуль п-строчным гессианом
det(#P.Pj?(p, q, t)). Тогда гамильтоновы величины p,q,H(p,q,t) и
det(#PiPjI) ф 0 оказываются в силу преобразования (li) - (1г) § 15
эквивалентными лагранжевым величинам q', q, L(q', q, t) и det (Lq'<7') Ф
0 соответственно. Так как соотношение (17) § 19 удовлетворяется в силу
этого точечного преобразования тождественно, то гамильтонова система
jf + 1НХ = 0
§§ 91 - 102. ГАМИЛЬТОНОВЫ И ЛАГРАНЖЕВЫ СИСТЕМЫ 89
для интегральных кривых х = x(t) в 2п-мерном фазовом пространстве х = (р,
д) эквивалентна лагранжевой системе
[L]q = 0 (6)
{\L]qi ^ 2 ~Ь S ^Qi' СМ' § ^
к к
для интегральных кривых q - q(t) в n-мерном позиционном пространстве q.
При этом эквивалентные уравнения (1) и (6) будут первого и второго
порядка соответственно.
Так KaKdet(?9' q> (q',q,t))^0 в (2п + 1)-мерной области
7 к.
(q', q, t), то (6) можно разрешить по отношению к q". Поэтому если через
z = (z,) обозначен 2м-мерный вектор с компонентами г, = qt, Zi+n = qi, i
= 1,..., n, равными компонентам n-векторов г = q' и q, то (fi) можно
переписать в виде
z' = g(z, t).
К этому уравнению применимы результаты, полученные в § 90 и предыдущих.
Заметим, что если записать (1) и (6) в виде
х' = f(x, t), z' = g(z, t)
и если / принадлежит классу C(v), v ^ 1, то функция g может и не
принадлежать тому же классу C(v). Это обстоятельство оказывается особенно
неприятным в случае v = 1, и оно показывает, что уравнения (1) более
предпочтительны, чем (6). Если det (HPiPlt) или det (Lq\q^ ) обращаются в
нуль, то *) переход от (1) к (6) или от (6) к (1) уже не может быть
определен формулами § 15. Локальные теоремы существования (§§ 79-90)
применимы к (1) также и тогда, когда det =0, однако они
неприменимы к (6), ecnHdet(Z/3r q, ) = 0. Поэтому в случаях,ког-
< ft
да рассматриваются не только уравнения (1), но и (6), будем предполагать,
что оба упомянутых гессиана не обращаются в нуль.
Следует указать, что если G(q) -скалярная функция класса С(2) в
позиционном пространстве, то к L в системе (0) можно добавить не только
постоянную, но также и линейную форму Gq(q)q' = (G(q))' переменных qi',
так как [Gq-q']q = 0 по определению [ ]ч.
§ 95. Если q = q(q, t) -координатное преобразование типа, рассмотренного
в § 10, и если в соответствии с § 10 определена
*) Однако из вариационного исчисления известно, что в частном случае,
когда XL(q', q) = L(Xq', q), X > 0, det (kpjq*) = 0, не возникает
фактически трудностей, если ранг матрицы (Lqiq'h) равен п - 1.
90
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
функция L{q', q, t), то формула (8) § 10 покапывает, что лагранже-вы
уравнения инвариантны. Это справедливо, конечно, при условии, что det q~q
ф 0. В § 343 будет приведен интересный для астрономии (а в §§ 340-342
более общий) пример того, насколько неверными могут быть результаты, если
заменить уравнения [L]g = 0 уравнениями [L]g = 0 в случае, когда п
скалярных соотношений, определяющих преобразование q = q(q, t) или q =
?(?), являются зависимыми, так что якобиан det qq = 0.
Инвариантность лагранжевой системы (6) при применении преобразования q -
q(q, t) класса C[2J, а также последнее замечание в § 94 становятся
очевидными, если заметить, что система (6) эквивалентна (если исключить
из рассмотрения разрывные экстремали) условию
для экстремалей q = q(t) с фиксированными границами *), выводимому в
вариационном исчислении.
§ 96. Если для данной функции L(q',q,t) известно семейство координатных
преобразований, зависящее от параметра е, стремящееся к тождественному
преобразованию при е -> 0, удовлетворяющее условиям дифференцируемости §
Ии оставляющее функцию L{q',q,t) инвариантной в смысле § 11а, или по
крайней мере в смысле § 11, то лагранжевы уравнения [L]g = 0 имеют
интеграл
f(q\ 4i 0 'Lq'{q\ q, t) - const (если f-Lq, ф const), (8)
где га-вектор-функция / есть результат дифференцирования формул
преобразования по е и последующей подстановки е = 0. Действительно, (8)
вытекает из (И) § 11, поскольку [Z]5 = 0.
§ 96а. Используя (4) § 9 вместо (И) § И, увидим, что система (6) имеет
интеграл
- L + q'-Lgi = h = const (если - L + q'-Lq> ф const) (9)
тогда и только тогда, когда Lt = 0, т. е. когда L = L(q', q). Однако
ничего нового нам это не дает, так как (9) совпадает с интегралом энергии
(3) (см. (li), (2[) § 15).
§ 97. Рассмотрим, как и в § 14, две функции 1г(с) in(c) и семейство
кривых q = q(c,t), удовлетворяющих условию дифференцируемости § 14.
Предположим далее, что т (^1) компонентов
*) В силу этого ограничения символ б в (7) означает, что величины Г (с) и
д(Р{с)) в § 14 предполагаются не зависящими от с.
