Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
семейства постоянная интеграла энергии (3) является функцией h - h(e)
параметра е. Предположим теперь, что данное семейство состоит из
изоэнергетических решений системы (1), т. е. что h не зависит от е. Тогда
частные смещения ?(?) решения x(t, е), находимые по формуле (13) § 87,
представят изоэнергетические смещения для x(t) = x(t, 0), поскольку
очевидно, что постоянная h интеграла (22) обращается в нуль. То же самое
справедливо и тогда, когда производная от Л(е) обращается в нуль только
при е = 0, но не при любом е.
Так как для решений x(t), x(t+ е) системы (1) постоянная энергии не
зависит в силу (3) от е, то смещение Е(?) = x'(t), упоминавшееся в конце
§ 87, является изоэнергетическим.
РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 103. Значение теории, развитой в §§ 27-46, заключается в том, что
преобразование фазового пространства, рассмотренное в § 17, переводит
любую систему Гамильтона также в систему Гамильтона тогда и только тогда,
когда это преобразование является каноническим.
Это вытекает из изложенного в § 26а, где соотношение (2), если положить в
нем Г - ух, удовлетворяется тождественно для любого преобразования y =
y\x,t). Если преобразование у - - у(х, t) является каноническим, то в
силу изложенного в § 27 системы
I x' = Hx(x,t), (li)
\y' = Ku(y,t)x (10
где
К = \iH(x(y, t), t) + R(y, t),
являются эквивалентными друг другу при любой H(x,t), причем множитель р.
и функция R зависят только от преобразования у= y(x,t), но не от
H(x,t). Действительно, в силу § 27
Г1Г' = pi, (2t)
lyt = Ry, (20
где
yt = yt(y,t), R(y,t),
причем функция Г = Г(у, t) представляет собой якобиеву 211-матрицу ух, a
yt = yt(y,t) -частную производную, определенную в § 17.
В дальнейшем мы будем использовать следующее свойство соотношения (2г),
представляющего необходимое условие для того, чтобы преобразование у
- у(х, t) являлось каноническим.
§§ 103-118. РЕШЕНИЯ И КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 97
Если заменить в (2г) частную производную yt = yt (г/, t) в (2п + 1)-
мерном пространстве (у, t) полной производной у' = = y'{t) вдоль кривой в
фазовом пространстве, то (2г) представит тогда не что иное, как
гамильтонову систему с функцией Гамильтона R. Описывая это свойство,
обычно говорят, что канонические преобразования являются контактными
преобразованиями.
§ 104. Пусть x = x(c,t) -общее решение системы (li), причем, в отличие от
изложенного в § 83 2п постоянных интегрирования Cj, составляющие вектор с
= (сj), не обязательно являются начальными значениями Xi° = Xi(to), но
могут быть произвольными независимыми комбинациями последних.
Другими словами, х° заменяется произвольным вектором с = = (с0) с не
обращающимся в нуль якобианом det сх°. Разумеется, вектор с =с(а;0), а
следовательно, и соответствующее общее решение х - х(с, t) должны
удовлетворять необходимым условиям дифференцируемости.
Если множество с постоянных интегрирования Ci для системы (11) таково,
что преобразование с в х, определяемое формулой общего решения х = х (с,
t), является каноническим преобразованием с множителем р = 1, то cj
называются каноническими постоянными интегрирования для (li).
Оказывается, что этот случай имеет место тогда и только тогда, когда
консервативное преобразование х = х(с, tо) при выбранном соответствующим
образом to является каноническим с множителем р = 1.
Необходимость этого условия очевидна из первого замечания в § 36, которое
тацже показывает, что если существует одно to, то тогда можно выбирать to
произвольно. Для того чтобы доказать достаточность этого условия, изменим
обозначения, полагая у, х, R вместо х,с,Н соответственно. Тогда вместо
уравнения (li) и его общего решения х = х(с, t) имеем
Т У -Ry(y,t)l (30
y=y(x,t). (3.)
Таким образом,
Iy'(x,t) = Rv(y(x, t), t), y'(x,t) s=yt(x,t).
Следовательно, если функция x = x(y,t) является обратной по отношению к
(Зг), то, положив
R(y, t) =R(y(x(y, t), t), t),
yt(y, t)=yt(x(y, t), t)
и учитывая соглашение о дифференцируемости в § 17, увидим, что условие
(2г) § 103 удовлетворяется. Другими словами, условие (i) § 36 заключается
в требовании существования такого to.
7 А. Уинтнер
98
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
при котором консервативное преобразование у = у (х, to) является
каноническим. Так как это условие, по предположению, удовлетворяется, то
доказательство можно считать законченным.
§ 104а. В силу § 104 переход от начальных значений переменных
гамильтоновой системы к каким-либо каноническим постоянным интегрирования
представляет собой консервативное каноническое ¦преобразование с
множителем р = 1. Однако в силу изложенного в § 35 это преобразование
является тогда полностью каноническим (т. е. таким, при котором функция
Гамильтона не изменяется, см. § 34).
§ 105. Если х = х(х°, t) -общее решение какой-либо определенной
канонической системы вида (li), в котором роль постоянных интегрирования
играют 2п начальных значений а:,0 в момент t -¦ = to, то у = у (х, t),
