Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Для динамики важно выявить все те независимые интегралы F(x), которые
являются изолированными. Однако если даже f(x) в системе (1) -
алгебраическая функция, то алгебраичность интеграла F(x) этой системы
является хотя и достаточным, но ни в какой мере не необходимым условием
его изолированности.
§ 130. Пусть система (1) скалярных дифференциальных уравнений имеет I, но
не имеет I + 1 изолированных интегралов F(x).
*) К сожалению, в математической литературе используется термин
"однозначный" интеграл. Он отражает фактическое положение менее точно,
чем термин "изолированный" интеграл, и является часто причиной
непонимания физиками-теоретиками результатов Пуанкаре относительно
"однозначных интегралов".
По существу, Пуанкаре заимствовал термин "однозначность" из известных
работ Якоби, касающихся обращения эллиптических и гиперэллипти-ческих
интегралов.
§§ 131-136. ТОЧКИ УСТОЙЧИВОСТИ
121
Тогда, если исключить тривиальный случай /(х) = 0, когда число
независимых консервативных интегралов равно та вместо та - 1 в любом
другом случае (см. конец § 82), то система (1) называется (та - 1 - /)-
кратно примитивной или Z-кратно им-примитивной. В случае Z = 0 система
(1) называется примитивной. Идеальным случаем, когда все та - 1
независимых локально интегралов F(x) имеют значение также в большом,
является случай (та-1)-кратно примитивной системы. В то же время условие
Z = О является, очевидно, необходимым (и, насколько можно судить по
известным результатам, по-видимому, достаточным) условием существования
интегральных кривых, регионально транзитивных в X (см. § 127).
В примере с тором (см. § 127а) Z = та - s, так что система примитивна в
случае линейной независимости Xi(s = та). В примере, приведенном в § 125,
где та = 4, имеем Z = 3 и Z = 2 в случаях (Z) и (ii) соответственно.
Система (4) является, следовательно, в первом случав (coi/o)2
рациональное) нуль кратно примитивной и во втором случае (coi/c02
иррациональное) однократно примитивной *).
ТОЧКИ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 131. Имеется около десятка различных определений "устойчивости",
которые все полезны, но которые мало связаны (если вообще связаны) друг с
другом. Каждое определение требует существования различных желаемых
свойств либо одного решения, либо совокупности решений.
Одно из самых ранних определений устойчивости данного решения х = x(t)
системы х' = /(х) заключается в распространении требований, указанных в
конце § 84 и относящихся к фиксированному интервалу, на бесконечный
интервал - оо < t < + оо. Другими словами, решение x = x(t) системы х' =
f(x) называется устойчивым в этом смысле, если оно обладает следующими
свойствами: для каждого е > 0 существует 6 = бе > 0 такое, что любое
решение х = x(t) системы х' = /(х) с начальным значением х(0),
подчиненным неравенству |х(0) -х(0)| < б,
[}) неограниченно продолжаемо в указанном в § 119 смысле и (ii)
удовлетворяет неравенству [х(г)-x(f)| <е при всех - оо < t < + оо.
(Полагая t = 0, получим, что б ^ е; выбирая х(0) = х(0), получим, что
решение х = x(t) само должно быть неограниченно продолжаемым.)
*) Статистический подход к динамическим системам заданной степени
импримитивности развит в теории Леви-Чивита, названной Эренфястом теорией
адиабатических инвариантов.
122
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
Это определение устойчивости представляется на первый взгляд наиболее
естественным. Но фактически оно весьма неестественно, поскольку требует
слишком многого. По существу, все результаты геометрической теории
Пуанкаре вещественных дифференциальных уравнений, а также аналогичной
теории (но более сложной) преобразований поверхностей (Пуанкаре, Адамар,
Леви-Чевита, Биркгоф) указывают на то, что условие (ii) выполняется лишь
в исключительно редких случаях. Даже в ограниченной проблеме трех тел
неизвестно ни одно устойчивое в этом смысле решение.
Положение таково (и именно в интересных случаях), что условие (ii)
нарушается в силу появления периодических членов с несоизмеримыми
периодами. Эти соображения опираются на свойства иррациональных чисел и
применимы непосредственно после введения угловых переменных. Единственный
полезный критерий, являющийся достаточным для выполнения условий
(i) - (ii), относится лишь к случаю, когда исследуемое на устойчивость
решение х = x(t) системы х' = f(x) является равновесным в смысле
определения, данного в § 83.
§ 132. Для того чтобы сформулировать этот критерий, рассмотрим
последовательность множеств 2], 2г ,.. . в пространстве х, причем Е"
стягивается при п->оо в точку х° (заданную), являющуюся внутренней точкой
любого 2/ *), j = 1, 2, 3, ... Предположим, что точка х° представляет
собой точку равновесия системы x'=f(x), т. е. что f(xP)= 0. Предположим
также, что любое 2П является инвариантным множеством этой системы (в
смысле определения в §. 81). Тогда эта точка равновесия представляет
собой устойчивое (в смысле определения в § 131) решение системы x' =
