Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
f(x). К такому выводу легко прийти, если сопоставить определение
инвариантного множества с последним замечанием в § 120.
§ 133. Достаточное условие устойчивости точки равновесия, указанное в §
132, является также и необходимым. Другими словами, если точка равновесия
x(t) ^ х° системы х' - f(x) устойчива, то существует последовательность
инвариантных множеств 2П (открытых областей), стягивающихся при п->оо в
точку х°.
Для того чтобы это показать, обозначим через S(p) сферу \х - х°\ < tj, а
через S^p) обозначим при достаточно малом фиксированном ц > 0 и
фиксированном t такое множество в пространстве z, что имеются
интегральные кривые системы xr = f(x),
*) Если S(t]) есть сфера радиуса ц с центром в х°, то каждая точка сферы
S(T]n) лежит в I. пои достаточно малом т]" > 0.
При каждом ц > 0 существует целое число Nr, такое, что содержится в S(tj)
при всех в > iV".
§§ 131-136. ТОЧКИ УСТОЙЧИВОСТИ
123
проходящие при t - 0 через некоторую точку сферы S(ti), а при указанном
фиксированном t - через некоторую точку множества S4(tj). Пусть R(t)) -
множество тех точек пространства х, которые содержатся по крайней мере в
одном из множеств S* (т|), для которого ц фиксировано, a t изменяется от
- оо до + оо. Другими словами, R(t]) представляет собой совокупность
неограниченно продолжаемых кривых (и именно тех, которые проходят через
точку сферы S (т|) при ? = 0). Следовательно, R(ri) представляет собой
инвариантное множество. Вместе с тем R(т|) стягивается при ц -0 к точке
2°, поскольку, по предположению, х°- устойчивая точка равновесия системы
х' - f(x). Наконец, так как сфера S (tj) содержится в R(т|), то х° -
внутренняя точка н(л). Следовательно, полагая, например, 2n = R(H_I), п =
1, 2,..., мы и получим последовательность, существование которой надо
было доказать.
§ 134. Пусть x(t) = 2° - равновесное решение системы х' = f(x), и пусть
эта система обладает консервативным интегралом F(х) = = const таким, что
функция F(x) имеет при 2 = 2° изолированный максимум или изолированный
минимум. Тогда решение x{t) = 2° устойчиво в указанном в § 131 *) смысле.
Для доказательства достаточно рассмотреть только случай минимума, так как
всегда можно заменить ^(2) на - ^(2). Можно также предположить, что F(x°)
= 0 ввиду допустимости замены F(2) на F(x) + const. Таким образом, можно
считать, что F(x) > 0 при всех 2, достаточно близких к 2°, но не равных
2°. В силу непрерывной зависимости функции F(2) от х существует при любом
достаточно малом ? область ? = Е(?), содержащая окрестность точки 2°,
стягивающаяся в эту точку при ? -*¦ 0 и такая, что F(x) < ?, если х лежит
внутри 2(?), и F{x) = ?, если х лежит на границе этой области. Так как
F(x) = const - интеграл системы х' = /(2),то из §§ 80-82 следует, что
2(?) представляет собой инвариантное множество этой системы при любом
малом (фиксированном) ? > 0. Таким образом, если положить, например, 2П
=2(?п) и ?п = 7п,то условия, налагавшиеся в § 132 на последовательность
2П, п = 1,2,..., выполняются, что доказывает теорему.
§ 134а. Предположим, в частности, что система х' = /(2) имеет вид (1) §
91, где Ht = 0, и что Н(р, q) = Т - U, где Т - положи-
*) Отсюда вытекает, что солнечная система устойчива, если учитывать лишь
"вековые" возмущения. (Устойчивость солнечной системы в предположении,
что учитываются лишь линейные вековые возмущения, была показана Лагранжем
(и Лапласом). Вывод, что в силу теоремы Мяндинга (и Дирихле) эти
результаты можно обобщить на случай учета всех нелинейных вековых
возмущений, был сделан Брунсом.)
124
ГЛАВА II. ЛОКАЛЬНЫЕ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
тельно определенная квадратичная форма компонентов рi,... ,рп вектора р,
a U - функция вектора q = (q 1, • ¦ ¦, ?n), имеющая при q = (0,...,0)
изолированный максимум. Тогда интеграл F(x) = = const, определяемый
формулой (3) § 92, имеет, очевидно, при г = 0 изолированный минимум, и,
таким образом, теорема, изложенная в § 134, применима.
Заметим, что эта теорема может быть применима к консервативной
канонической системе и тогда, когда условиям § 134 удовлетворяет не
интеграл энергии (3) § 92, но какой-нибудь другой*) интеграл F(x) =
const.
§ 135. Следует указать, что достаточные условия устойчивости точки
равновесия x(t) = a;W, приведенные в § 134, не являются необходимыми.
Пусть, например, дана консервативная каноническая система с одной
степенью свободы и с гамильтонианом
H(x) = H(p,q)=--*p*-U(q),
L.
где
гг/ Ч f ехр(-g-z)cos(g-1), q ф 0,
^"io, , = 0
(так что производные функции U(q) существуют при любом д). Тогда р = 0, q
= 0 есть равновесное решение, так как Нр (0,0) = = 0, Hq(0, 0) = 0. Это
решение устойчиво, так как рассматривая сечения поверхности Н = Н (р, q)
в декартовом пространстве (р, q, Н) соответствующей последовательностью
плоскостей Н = = /гп( = const), легко убедимся в том, что условия § 132
выполняются. Действительно, последовательность h\, /гг,... постоянных
энергии можно выбрать так, что: 1) hn стремится при п-+-ао к нулю, т. е.
