Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
отрицательные минимумы;
(и) функция U(x,y) = U(x, -у), определенная согласно
(li) - (12), обращается в -j-°o в обеих точках (2()- (22) и при
*) В силу индексовых соотношений Биркгофа - Морса для крнтических точек
факты, указанные в пунктах (iu) - (у), не являются совсем независимыми
друг от друга.
448
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
а2 + г/2 -+оо, а абсолютный минимум этой функции на плоскости (х, у)
достигается в точках (I62), и он равен 7г(3 - р + р2).
§ 469а. С целью доказать (г) - (у) заметим прежде всего, что
дифференцирование функции (14) по х и у приводит к формулам
Ux = xV + (1 - р) р (1- - Af) - (18')
Uy = yV, (18,)
где
(18,)
p3 a3
В утверждении (г) говорится о точках (х, у), в которых функции (18j) и
(182) обращаются одновременно в нуль. Но функция (I82) обращается в нуль
тогда и только тогда, когда у = 0 или V = 0. В первом случае, когда у =
0, обращение в нуль функции (18i) означает, что х удовлетворяет условию
Ux(x, 0). Сопоставляя это условие с определением ?ь(р) в § 464, придем к
трем точкам (16i). Во втором случае, когда V = 0, увидим, что функция
(18i) обращается в нуль тогда и только тогда, когда р = а. В силу (183)
получим, что тогда р = а - 1. Но последнее равенство приводит согласно
(12) к точкам (162), что и доказывает окончательно (г) - (гг).
Формула (17i) очевидна в силу (4Д, (43), (9i), а (172) получим,
подставляя (162) во вторые производные функции U. Это доказывает (г'г'г).
Справедливость же утверждения (гу) вытекает из того, что два
характеристических числа матрицы (17i) имеют противоположные знаки, а оба
характеристические числа матрицы (172) положительны, причем их значения
равны
-(1±У{1-Зц(1 -ц)}),
где р(1 - р) ^ 'Д, так как 0 < р < 1.
Наконец, (у) вытекает с очевидностью из (г) и (iv). Значение 6'вточках
(162) равно 7г{3 - р(1 - р)} (> 0) в силу (li) - (12).
§ 470. В случае двух равных масс р, 1 - р поверхность U = -¦ U (х, у)
имеет наряду с плоскостью симметрии у = 0 плоскость симметрии х = 0.
Действительно, из (1Д - (12) видно, что если р= 7г, то не только U(x,-у)
=U(x,y), но также U(-x, у) = U(х, у).
В §§ 462-469 были исключены два эквивалентных друг другу предельных
случая р = 0 и р = 1. Если р = 0, то (14) -¦ (12)
§§ 469-477. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
449
СВОДЯТСЯ к
и = ^ р2 + р-',
где р2 = х2 -j- У2- Следовательно, U = U(x, у) представляет собой в этом
случае поверхность вращения вокруг оси х = 0 = у. Очевидно, что тогда
равенства Ux = 0 - Uv имеют место не только в пяти точках (16j)- (162),
но и в каждой точке окружности х2 -J- у2 - 1. Таким образом, если р-"-0,
то на основании (1г) и (12j) - (12з*) можно заключить, что все пять точек
(16i) - (I62) стремятся к точкам окружности х2 у2 = 1.
Ниже мщ будем опять предполагать, что 0 •< р •< 1.
§ 471. Рассмотрим поверхность (li) в декартовом пространстве (х, у, U)
при каком-либо фиксированном р. Тогда множества Р.ч, Zft, Nb (см.
обозначения, введенные в начале § 167) представляют собой множества тех
точек плоскости (х,у), в которых аппликаты U поверхности U - U (х, у)
лежат выше плоскости U = -h, на ней или ниже ее (h - некоторое
вещественное число) соответственно. В частности, Zд представляет собой
ортогональную проекцию на плоскость (х, у) сечения поверхности U = U (х,
у) плоскостью U --h при условии, что такое сечение существует.
Так как поверхность U = U(x, у) является аналитической (и
алгебраической), то топологическая структура Z/, и областей Рд, \д, на
которые Zд подразделяет плоскость (х, у), остается без изменений, если h
варьируется в интервале, в котором нет значений h=-U(a,b), причем (a,b) -
критическая точка поверхности, т. е. точка, где grad U = 0. В
соответствии с (t) - (ii) § 469 имеется пять и только пять таких точек
(а, Ъ). Пусть через (ah, bh), причем bh - 0, щ < а3 < а3 и а4 ==а5, Ь4 =
-Ъ3 обозначены три коллинеарные и две треугольные критические точки (16j)
и (I62). Предполагая без потери общности, что р ^ 1 - р, и исключая для
удобства предельный случай р = 1 - р двух равных масс, придем на
основании (15i) - (152) и (iv) - (v) § 469 к выводу, что
+оо > U2 > Us > Ui > Ui ( = Us = min U(x, y) > 0),
где обозначено U- =¦ U (сц, bj), / = 1, ..., 5.
.Следовательно, топологическая структура множеств Рд, Nh, Zк не зависит
от значения Ь. пока значение -h лежит внутри четырех интервалов
+оо > -h > U%\ U2 > -h > U3; U3 >> -h > tA;
Ui > -h > Ui
29 А. Уинтнер
450 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
(третий из этих интервалов не существует в предельном случае [I = У2,
когда ?/j = Е/3). Кроме того, Р/, не существует, если ?/4 >'-й >-оо. Если
-й - ?/4 = min U(х, у), то кривая Zh вырождается в пару точек (162).
§ 472. Кривая Zh. на плоскости (х, у) определяется уравнением JJ(х, у) =
-й. Поэтому, если -й равно большому положительному числу, то Zh состоит
из трех ветвей, которые обозначим через В/,1, ВЛ В/i3. При этом Вл1 и
В/,2 представляют собой очень
малые, блпзкие к окружностям замкнутые кривые, окружающие массы р. и 1 -
