Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
показателя имеют вид s = ±а + Ф и ни одна из положительных функций а, р
аргумента р не обращается в нуль. Во втором случае четыре s имеют вид s =
±фо, s = ztiPo, где Ра - одно и то же положительное число. В этом
предельном случае общее решение уравнений (19) содержит вековые члены.
Чтобы доказать (I), достаточно показать, что один из корней s2
квадратного уравнения (21,) положительный, а другой отрицательный. Однако
этот факт очевиден, поскольку свободный член в (21,) меньше нуля.
§§ 469-477. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
453
Чтобы доказать (II), заметим сначала, что оба корня sz квадратного
уравнения (21г) отрицательные или комплексные (но не чисто мнимые), если
дискриминант 27р(1 - р) - 1 меньше или больше нуля соответственно. Кроме
того, условие 27р(1 - р) - - 1 = 0 для предельного случая эквивалентно,
как легко проверить, случаю б) в (II). Следовательно, для полного
доказательства (II) достаточно удостовериться в появлении вековых членов
в предельном случае 27р(1 - р) -1 = 0. Однако такие члены мы хюлучим,
если учесть (17г), при непосредственной интеграции (19).
§ 477. Хотя неравенство (р, 1 - р) <С 0,03852 .. . является в
соответствии с (II) § 476 достаточным (и необходимым) для того, чтобы
уравнения в вариациях для треугольных равновесных решений (16г) были
устойчивого типа, но § 136а показывает, что нельзя быть уверенным в
устойчивости этих решений, если понимать устойчивость в указанном в § 131
смысле. Проблема об устойчивости (в смысле § 131) этих решений осталась
до настоящего времени нерешенной*)). Можно лишь сказать, что если имеет
место устойчивость, то она обязана присутствию кориоли-совых сил. Другими
словами, решения (16г) ограниченной задачи трех тел оказались бы
обязательно неустойчивыми в указанном в § 131 смысле, если в уравнениях
(6i) § 443 были бы опущены члены -2а/, 2у'.
§ 477а. Для того чтобы это доказать, рассмотрим -точку равновесия
обратимой динамической системы
х" = их, у" = Uу. (220
Г>ез потери общности можно предположить, что эта точка совпадает с
началом координат (х, у) - (0, 0) и что U(0, 0) = 0. Тогда, поскольку
grad U (0, 0) = 0, существуют три постоянные а, Ъ, с такие, что
tf(*. у )=\ (ах2+2Ьху + °уг)+¦ ¦ ¦.
Ux = ах + Ъу + ..., Uy= Ъх + су + ..., .
где точками заменены члены более высокого порядка. Предположим, что не
только сама функция U(х, у), но и ее квадратичная часть имеют в начале
координат (х, у) = (0, 0) изолированный минимум, т. е. что ас-Ь2>0иа +
с>0в (22г). Мы покажем, что Это условие (которое согласно (17г)
удовлетворяется в задаче,
*) Эта задача в последнее время решена положительно на основании
результатов В. И. Арнольда. (Прим. пер ев.).
454
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
рассматриваемой в § 477) является достаточным для того, чтобы равновесное
решение х (t) =0, y(t) =0 не было устойчивым в указанном в § 131 смысле.
Прежде всего из ограничений, налагаемых на постоянные а, Ь, с в (22г),
вытекает существование достаточно малого числа а > 0 такого, что
xUx(x, z/) + yU~(x, у)>0
во всех точках (х, у) круга Г (а): 0 < з? + у2 < а2. Кроме того, можно
выбрать а таким малым, что U(х, у) > U (0, 0), т. е. U(х, у) > 0 в любой
точке (х, у) круга Г (а).
Предположим теперь, если это возможно, что равновесное решение x(t) = 0,
y(t) 0 устойчиво в указанном в § 131 смысле. Тогда при любом достаточно
малом е > 0 существует б = бе такое, что если (zo, уо) -какая-либо точка
круга Г (б), то интегральная кривая х = x(t), у = y(t), определяемая
начальными условиями а:(0) = аго, у(0) = уо, я'(0) = 0, у'(0) = 0,
существует и остается при всех -оо < t < оо внутри круга Г(е). Можно,
конечно, предположить, что б < е < а. Однако предположение о
существовании такого 6 = бЕ сразу приводит к противоречию.
Действительно, для решения x = x(t), у = y(t), определенного начальными
условиями (х0, у0, 0, 0), постоянная энергии
h - \ (x'z+у'2) - и(х> У)
равна h= -U (х0, у о) ¦ Следовательно, уравнение кривой нулевой скорости
запишется в виде
U (х, у)= U (аго, уо)
и интегральная кривая никогда не может достичь точки (х, у), в которой
U(х, у) < U(х0, уо). Так как функция U (х, у) имеет в точке (х, у) =
(0,0) изолированный минимум и так как (хо, Уо) = (0, 0), то можно
утверждать о существовании достаточно малого числа т) > 0, меньшего чем б
и такого, что внутри Г(т)) нет точек интегральной кривой. Следовательно,
интегральная кривая заключена при всех t в кольце ц2 ^ хг + у2 ^ б2.
Поскольку это кольцо содержится в Г (а), то из определения а вытекает,
что функция
xUx(x, y) + yUy(x, у)
имеет в этом кольце положительный минимум, равный, например, К. Так как
уравнения
*" = U х, у" = и у
§§ 478-488. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 455
влекут за собой соотношение
(*" + у2)" = 2(хп + yn) + 2(xUx + yUv),
ТО
(* + y*)"^2(tn + yn) + 2K
при любом t. Следовательно,
(х2 + у2)" ^ 2X = const > О
при любом t. Однако отсюда следует, что г2 + й2->- +<" при t-*- ±оо.
Очевидно, построение доказательства, эквивалентною приведенному выше,
