Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
могло бы опираться на непосредственную проверку того факта, что условие,
указанное в § 133, не удовлетворяется.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА
§ 478. Рассмотрим ту же самую схему, что и в § 441, но не будем
ограничивать начальное положение и вектор начальной скорости тола Р
плоскостью кругового движения конечных тел Р4, Рг- Таким образом, Р не
будет всегда оставаться в указанной плоскости и имеет, следовательно, три
степени свободы вместо двух. Очевид-йо, функции (5]) - (5г) § 443 нужно
заменить следующими:
L = 1 (X* + у'2 + z'2) + (х/ - ух') + U(x, у, Z), (14)
1 1 - II
и = - (х2 + у2)
2 ' \{x + ]i)2 + y2 + z2\^
1 |(х~1 + ц)2+^ + Х*|'А* (1г)
где через (х, у, z) обозначены барицентрические синодические
координаты Р, а вращающаяся плоскость (х, у) совпадает с непо-
движной плоскостью, содержащей в себе круговые траектории Pi и Рг. Три
уравнения Лагранжа, соответствующие (li) - (1г), запишутся следующим
образом:
x"-2y'=Ux, (2,)
у" + 2х' = Uy (2г)
г" = U г, (2з)
а интеграл энергии имеет вид
1 (х'2 + у'2 + Z'2) - U(х, у, Z) = const. (3)
456 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
§ 479. Если потребовать, чтобы x(t) = 0, y(t) = 0, т. е. чтобы движение Р
происходило вдоль оси z, то мы придем к элементарному типу движения. Для
такого движения
Z7X(0, 0, z) = 0, J/"(0,0,z) = 0
в силу (2i), (2г). Отсюда получим согласно (1г), что поскольку О < р. <
1, то р = 1 - р. Таким образом, тела Pi и Рг имеют одну и ту же массу р =
7г, а их координаты равны (х, у, z) = = (+7г, 0, 0) при любом t. Так как
Р движется, по предположению вдоль оси z, то треугольник, образованный
тремя телами, должен быть при любом t равнобедренным.
Для того чтобы найти координату z - z(t) тела Р, надо решить уравнение
(2з) при x(t) = 0, y(t) = 0 и р = 7г. Это уравнение примет тогда согласно
(1г) вид
z" - и ;-__________z
& + ' ЛГ''
Мы придем к уравнению, соответствующему динамической системе с одной
степенью свободы, допускающей интеграл энергии
1
- z'2-U(z) = const.
Отсюда мы и получим z =¦ z(t) после обращения квадратуры (приводящей к
эллиптическим функциям).
§ 480. Пусть x = x{t), y = y(t), z = z(t) -некоторая интегральная кривая,
не принадлежащая к типу кривых, рассматривавшихся в § 479 (x(t) =0, y(t)
=0) или в §§ 441-477а (z(t) = 0). Предположим, что
*(0/(0 - V{t)x'(t) =? 0, (4)
и через Р = P(t) обозначим при заданном t оскулирующую плоскость
интегральной кривой в пространстве (х, у, z). Обозначим через i = i(f), 0
= 0(f) эйлеровы углы плоскости Р = P(t) по отношению к плоскости (х, у),
так что i - наклонность Р, а 0 - узел, т. е. угол между осью х и прямой,
по которой Р пересекает (если sin 1Ф 0) плоскость (х, у).
Выбирая соответствующим образом направление отсчета этих углов и
обозначая через R = R(t) векторное произведение векторов (z(?), y(f)) и
(х'(f), y'(t), z'(t)), получим
yz' - zy' = IRI sin 1 sin 0, zx' - xz' = - IRI sin 1 cos 0, xy' - yx' -
IRI cos 1.
(5)
§§ 478-488. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА
457
Действительно, с одной стороны, величины - sin i sin 0, sin i cos 0, -cos
i представляют собой направляющие косинусы -нормали к плоскости Р по
отношению к осям х, у, z соответственно. С другой стороны, вектор R
перпендикулярен к плоскости Р в силу определения Р, как оскулирующей
плоскости.
Если cos i Ф 0, то из (5) вытекает в силу (4), что
z = (-zsinG -f- у cos 6)tg i, 1 z' = (-x'sinG + y'cos0)tg i. j
§ 481. Решения, найденные в § 479, не представляют интереса для
астрономии. Заслуживает внимания в приложениях другой крайний случай,
когда тело Р движется вблизи плоскости (г, у), так что координата z =
z(t), не обращаясь тождественно в нуль, остается всегда малой по
абсолютной величине.
Для анализа этого случая предположим, что дано плоское решение
x = x(t), y = y(t), z - z(t) = 0 (7)
уравнений (2i), (2г), (23) или, точнее говоря, уравнений (2i) - (2г).
Пространственные решения, весьма близкие к этому плоскому решению, можно
получить приближенно после замены (2з) соответствующим уравнением Якоби
относительно решения (7). Действительно, если обозначить через ? = ?(f)
смещение для z(t) = 0 в указанном в § 86 смысле, то уравнение Якоби
получим, прнебрегая в правой части (23) членами выше первого порядка
относительно z и заменяя х, у, z на x(t), y(t), ? соответственно. Таким
образом, это уравнение, определяющее приближенно ?(0, запишется в виде
Г =¦-/(*)?, (8)
где
-f(t)=U"(x(t),y(t), 0).
Если ? = ?(?} - некоторое решение линейного дифференциального уравнения
(8), отличное от тривиального ? (t) = 0, то приближенное пространственное
решение уравнений (2i) - (23) представится функциями х = x(t), у = у (0,
2 =¦?(*)¦ Точный смысл прилагательного "приближенное" достаточно ясен из
§§ 84-86 (см. также § 136).
§ 482. Очевидно, что при предположении, сделанном в § 481, наклонность i
= i (?), введенная в § 480, должна быть очень малой.
Поэтому, заменяя z на ?, можем также заменить (6) следующими
формулами:
