Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 161

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 202 >> Следующая

(вместо многозначного в § 451) и может быть, следовательно, использовано
для топологического анализа в большом (см. § 500 ниже).
§§ 446-461. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
435
§ 454. В силу изложенного в начале § 451 естественно спросить о том, что
произойдет, если заменить преобразование z = -р, +
S2 (§ 447) преобразованием z - -р + ?п, где п - целое число, превышающее
2. Ответ таков, что это преобразование для цели регуляризации
бесполезное.
Действительно, если п > 2, то на основании (12) функция U в точке
столкновения (?, ц) = (0, 0) обращается в нуль (в первом же случае она
равна 4 - 4р. ф0). Следовательно, из (9i) вытекает, что формулы (13) надо
заменить следующими:
Однако ?(f) =0, T](f) = 0 - есть одно, а следовательно, и единственное
решение уравнений (8i), удовлетворяющее этим начальным условиям.
Действительно, обращаются, как легко ви-
деть, в нуль в точке (?, ц) = (0, 0) не только в случае га = 2, но и при
любом п ^ 2.
В соответствии со сказанным, если п > 2, то особая точка, в которой
находится тело Pi, преобразуется в равновесное решение по отношению к
независимой переменной t. Следовательно, если столкновение происходит в
конечный момент, например в момент t = 0, то значение t, соответствующее
этому моменту, не будет конечным, но t-*¦ оо. Таким образом, по отношению
к независимой переменной t это столкновение имеет асимптотический
характер (см. конец § 167). Другими словами, знаменатель в (82),
рассматриваемый как функция t, обращается в момент столкновения t = 0 в
нуль, имея при п > 2 гораздо более высокий порядок малости.
§ 455. Возвращаясь к (5i) - (62), фиксируем постоянные р, С. Пусть
координаты х, у инфинитезимального тела Р изменяются так, что значения U
остаются ограниченными. В силу (62) это будет тогда и только тогда, когда
х' и у' остаются ограниченными. С другой стороны, (5г) показывает, что Ux
и Uy остаются ограниченными тогда и только тогда, когда таковыми являются
оба расстояния г* и обратные величины 1 / г,-, причем
"* + р)2 + т {(*+Ц-1)2 + У2}''' (19)
(см. § 443а).
Следовательно, записав (61) в виде, системы четырех дифференциальных
уравнений первого порядка относительно х, у, х', у' и полагая вдоль
фиксированного решения x - x(t): у = y{t) уравнений (61)
So =¦ 0, т)о =0, So = 0, т]0 - 0.
p(t) = Min(rt(t), rz(t)
(20)
2В*
436
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
мы сразу придем к следующему аналогу леммы, сформулированной в конце §
408.
Если значение р и постоянная интегрирования С в (62) фиксированы, то при
любом положительном числе р* существуют два положительных числа а*, (3*
таких, что решение х - x(t), у -• - y(t) уравнений (6i), для которого
неравенство р(?) > р* удовлетворяется при некотором ? =• to, не только
существует, но является регулярным аналитическим при всех t в интервале I
? - ?о | < а и удовлетворяет неравенствам
при всех t в этом же интервале. Как и в § 408, существенным является то
обстоятельство, что а*, р* не зависят от выбора ta (а только от р, С и
р*).
§ 456. Предположим, что решение х = x(t), у = y(t) ограниченной задачи
трех тел перестает существовать или теряет аналитичность (по t), если t
стремится, например убывая, к фиксированному конечному t = ?°, скажем к
?° = 0. Тогда в силу леммы, выражаемой неравенством (21i) - (21г),
получим, что lim р(?) = = 0 при t -у +0. Доказательство такое же, как и в
§ 409. Фактически не только limp(?) =0, но также limp(?) =0 при t -*¦ +0.
Доказательство опять такое же, как и в § 409. Однако сравнение (19) с
(20) показывает, что условие lim р(?) =0 имеет место тогда и только
тогда, когда выполняется одно из трех условий
limri(?) = 0, Нтгг(?)=0, limri(f) = +00,
исключающие друг друга. В первом и во втором случаях мы имеем дело со
столкновением с телами 1 - р и р соответственно. Эти два эквивалентных
один другому случая рассматривались в §§ 447-449. Теперь мы покажем, что
этот случай одиночного столкновения движущегося тела с одним из двух
покоящихся тел Pi, Рг исчерпывает все возможности, т. е. что третий
случай, когда lim ri(t) = +00 не может иметь места.
§ 457. С целью доказательства предположим, что п (?)-+-+оо при ?->-+0.
Это предположение эквивалентно в силу (19) условиям гг(?) -> +°° и z?(t)
+ y2(t) -> +°° при ?-+-+0. Следовательно, (5г) показывает, что если
момент ?(>0) близок к моменту ? = 0, то гравитационные члены в силовой
функции U и в векторе силы (Ux, Uy) очень малы. Главную часть вектора
(Ux, Uv)
(x(t) - x (t0))2 + (y (?) - у (to) )2 < P*, P(*)>yP*
(21")
(21,)
§§ Мб-401. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
437
составляет вектор (х, у), представляющий собой градиент центробежных
членов V2 {х2 + У2) в (5z). Это значит, что при t -> +0 уравнения (61) и
интеграл (62) хорошо аппроксимируются следующими уравнениями и
интегралом:
Уравнения (22i) - линейные однородные с постоянными коэффициентами.
Следовательно, любое решение х =x(t), у = = у (t) этих уравнений является
регулярным аналитическим при всех конечных i, так что x2(t) + y2(t)
Предыдущая << 1 .. 155 156 157 158 159 160 < 161 > 162 163 164 165 166 167 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed