Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
ук к
Прежде всего (9i) в силу (4г) эквивалентно (9г). Далее, если к = 1, то сц
= 1 + Pi в силу (6i). Следовательно, если к = 1, то сумма в левой части
(9г) больше чем (1 - р)/pi3 + р/pi3 и таким образом больше 1, если pi <
1. Однако последнее условие вытекает из сказанного в конце § 464. Это
доказывает (9г) при к - 1 и, следовательно (см. § 463), также и при к =
3. Наконец, при к - 2 имеем pft + рл = 1 в силу (6г). Поэтому оба
положительных числа pi,, о* меньше 1 и справедливость (92)
очевидна.
§ 465. Покажем теперь, что все три рь(р) и все три Ол(р) явля-
ются монотонными функциями р на всем интервале 0 < р < 1.
В силу сказанного в конце § 463 достаточно доказать это утверждение при к
- 1, 2. В силу же (6t) - (62)
Oft (р) = 1 ± Pfc(p).
Следовательно, достаточно доказать, что р* = рь(р) имеет конеч-
пую и отличную от нуля производную ^Ph. ПрИ А = 1, 2 и
о < р < 1.
С этой целью заметим прежде всего, что в силу (7Д - (72) и определения рь
о ^=p№=fc_l=lL+_^_. .= 1,2, (10,
где верхний знак соответствует индексу k = 1, а нижний - индексу А = 2.
Дифференцируя тождество (10) по р, где
§§ 462-468. СИЗИГИЙНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ КРИВАЯ 443
рл = рл(р), получим
=Fl -± = jl +----------H---(11^
P* (l±pk)* .1 ^ P3ft ^(l±pk)"/dp 1
Однако 1 dh ps = Oft > 0 в силу (6i) - (62), так что коэффициент
{ } при в правой части (11) положителен. Следовательно,
dp
для доказательства существования конечной и не обращающейся
в нуль производной^! достаточно показать, что левая часть (11) dp
не может обращаться в нуль. Так как 1 dh Ра = он, к = 1, 2, то достаточно
доказать неравенства
¦ i-L**
сг о2 о а2
1 ^1 к2 2
Следовательно, требуется лишь доказать, что каждое из трех положительных
чисел 1/(Ц, р2, 02 меньше 1. На это справедливо, поскольку 1 < 1 + Pi =
О] и р2 + о2 = 1 в силу (6j) - (62).
§ 465а. Результат предыдущего параграфа может быть дополнен вычислением
предельных значений шести монотонных функций Рй(р), Ой(р) на концах
интервала 0 < р <С 1. Эти значения следующие:
Pi(+0) = 1, ¦О т о II о (120
р2(+0) = 1, 3 1 о Т о (12*)
а3(+0) = 0, сг3 (1 - 0) = 1, (12з)
щ(+0) = 2, Oi(l -¦ 0) = 1, (120)
а2(+0) = 0, сгг (1 -¦ 0) =1, (12г*)
Рз(+0) = 1, Рз (1 - 0) = 2. (ОД
Действительно, (12i) - (122) получим из (10) при к = 1, 2,
полагая р, -"-}-0 и р. ->-1 - 0. Значение (123) следует
согласно
изложенному в конце § 463 из (12i). Наконец, значения (12й*), Ат = 1, 2,
3, эквивалентны в силу (6ft) значениям (12ft).
§ 466. Определим относительные величины функций Рй(р), Oft(p) для любого
фиксированного р, а именно покажем, что
Оз(р)Ш Pi(P'), (130
сгг(р) Ш Рг(р), (13г)
444
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
при р Ш| '/г и
PzM< Pi(n)
(14)
при 0 < р < 1. В силу упомянутой выше симметрии из соотношений (13i) и
(14) вытекают также и эквивалентные им соотношения.
Прежде всего заметим, что при р = 7г обе массы р и 1 - р одинаковы.
Поэтому (13i) и (13г) вытекают из определений, данных в § 464 по
соображениям симметрии. Действительно, (12г*), (123) и (12i), (12г)
позволяют заключить, что из функций 02(р), Оз(ц) и pi(p), Р2 (р),
являющихся согласно сказанному в § 465 монотонными, первые две
возрастают, а следующие две убывают.
Для доказательства (14) применим формулу (10), полагая в ней р = Уг. Мы
получим прежде всего, что рг(Уг) = Уг и что рДУг) является положительным
корнем А, уравнения пятой степени <р(Я) = 0, где <р(А) = 2А,5 + 5А,4 +
4А3 - А2 - 2А - 1. Поскольку <р(2/з) < 0 < ф(1), то это уравнение имеет
корень, заключенный между 2/3 и 1. Этот корень и совпадает с р± (!/г),
поскольку коэффициенты полинома ф(А) имеют лишь одну перемену знака, что
несовместимо с существованием более чем одного положительного корня. Но
так как рг(Уг) = '/г, то неравенство (14) справедливо при р = Уг.
Следовательно, (14) будет справедливым при любом р в интервале между 0 и
1, если ни при каком р в этом интервале не имеет места равенство pi(p) =
= рг(р). Предположим, что при некотором р = р* имеем рДр*) = рг(р*) = р*.
Тогда, складывая два уравнения (10), получим, что значение р* должно
удовлетворять условию
чего не может быть, так как р* > 0, р* > 0.
§ 467. В соответствии с § 467 минимум функции U(х, 0) в интервале (5ft)
достигается лишь в точке а: = (р). Покажем те-
перь, что наибольший из трех относительных минимумов соответствует всегда
индексу к = 2. Действительно,
или
р*(1-р')2 = р*(1 + р*2),
ff(z,(p),0) <ff(z,(р),0), г = 1,3,
(15.)
при 0 < р < 1, а
U(яДр), 0)Ш и(х3(ц), 0)
(15а)
при р Щ. '/г соответственно.
§§ 462-468. СИЗИГИЙНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ КРИВАЯ
445
Фиксируем р и обозначим через 0 некоторое число в интервале между 0 и pi
= pi (|х). Тогда число -0 - р лежит между -pi(p) и -р. Следовательно,
число -0 - р принадлежит интервалу (5i), но не совпадает согласно (6i) с
?i(p). Так как минимум функции U(х, 0) в интервале (5i) достигается лишь
при *iM. то
^(г1 (р) > 0) < U( 0 р, 0).
Кроме того, из предположения 0 < 0 < pi(p) вытекает, что 0 < 0 < 1,
